Đề bài

Cho hình thang cân \(ABCD\) có \(AB//CD,AB < CD\), hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(P\), hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) kéo dài cắt nhau tại \(Q\). Chứng minh \(PQ\) là đường trung trực của hai đáy hình thang cân \(ABCD\).

Lời giải chi tiết

\(\Delta ACD = \Delta BDC\) ꦦ(c.g.c). Suy ra \(\widehat {PCD} = \widehat {PDC}\)

Do đó, tam giác \(PCD\) cân tại \(P\). Suy ra \(PC = PD\)Mà \(AC = BD\), suy ra \(PA = PB\)Do \(AB//CD\) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {ADC};\widehat {QBA} = \widehat {BCD}\) (các cặp góc đồng vị)Mặt khác, \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên \(\widehat {QAB} = \widehat {QBA}\)Do đó, tam giác \(QAB\) cân tại \(Q\). Suy ra \(QA = QB\)Mà \(AD = BC\), suy ra \(QD = QC\)Ta có: \(PA = PB,PC = PD\) và \(QA = QB,QC = QD\) nên \(PQ\) là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\).