Đề bài

Tìm số tự nhiên n để hai số sau nguyên tố cùng nhau: a)     n+2 và n+3; b)    2n+1 và 9n+4

Lời giải chi tiết

a)     Gọi d là ƯCLN(n+2, n+3) thì n+2 chia hết cho d; n+3 = n+2+1 chia hết cho d nên 1 cũng chia hết cho d. Suy ra d=1 Vậy n + 2 và n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n. b)    Gọi d là ƯCLN(2n+1, 9n+4) thì 2n+1 chia hết cho d; 9n+4 chia hết cho d. Do đó, 9.(2n+1)=18n+9 chia hết cho d và 2.(9n+4)=18n+8=18n+9 - 1 chia hết cho d nên 1 cũng chia hết cho d. Suy ra d=1 Vậy 2n+1 và 9n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.