Đề bài

Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{1}{3}\), N là điểm trên cạnh BC sao cho \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{1}{3}.\) a) Chứng minh MN//AC và \(MN = \frac{1}{4}AC\). b) Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh \(\frac{{KN}}{{KA}} = \frac{{KM}}{{KC}} = \frac{1}{4}\). c) Nếu thay điều kiện \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{1}{3}\) bằng điều kiện CM là phân giác của góc C, AN là phân giác của góc A thì tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để MN//AC?

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC có: \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NB}}{{NC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\) nên MN//AC (định lí Thalés đảo) Tam giác ABC có:  MN//AC nên \(\Delta BMN \backsim \Delta BAC\) Do đó,\(\frac{{MN}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BM}}{{BM + MA}} = \frac{{BM}}{{4BM}} = \frac{1}{4}\) nên \(MN = \frac{1}{4}AC\) b) Tam giác MNK có: MN//AC nên , do đó \(\frac{{KN}}{{KA}} = \frac{{KM}}{{KC}} = \frac{{MN}}{{AC}} = \frac{1}{4}\) c) Nếu MN//AC thì \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{NB}}{{NC}}\) (1) Vì CM là phân giác của góc BCA trong tam giác ABC nên \(\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) (2) Vì AN là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên \(\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên \(AB = BC\) Do đó, tam giác ABC cân tại B. Ngược lại, nếu tam giác ABC cân tại B, CM là phân giác của góc C, AN là phân giác góc A thì dễ thấy MN//AC. Vậy để MN//AC thì điều kiện là tam giác ABC cân tại B.