Đề bài

Cho các điểm \(A,B,C\) có toạ độ thoả mãn \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \overrightarrow k ,\overrightarrow {OB}  = 5\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - \overrightarrow k ,\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \). Tìm toạ độ điểm \(D\) để tứ giác \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  + \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow A\left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {OB}  = 5\overrightarrow i  + \overrightarrow j  - \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow {OB}  = \left( {5;1; - 1} \right) \Rightarrow B\left( {5;1; - 1} \right)\\\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow i  + 8\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \left( {2;8;3} \right)\end{array}\) Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {x - 1;y - 1;z - 1} \right)\). \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \). \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 2\\y - 1 = 8\\z - 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 9\\z = 4\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3;9;4} \right)\).