Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {0;0;1} \right),B\left( { - 1; - 2;0} \right),C\left( {2;1; - 1} \right)\). Tìm toạ độ chân đường cao \(H\) hạ từ \(A\) xuống \(BC\).

Lời giải chi tiết

Giả sử \(H\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x;y;z - 1} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3; - 1} \right)\) Vì \(H\) là chân đường cao hạ từ \(A\) xuống \(BC\) nên \(AH \bot BC\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Rightarrow x.3 + y.3 + \left( {z - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}} + 3y - z =  - 1\left( 1 \right)\) \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x + 1;y + 2;z} \right)\) Vì \(H \in BC\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {BC} \) cùng phương. \( \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 2}}{3}\\\frac{{x + 1}}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = y + 2\\ - \left( {x + 1} \right) = 3{\rm{z}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\left( 2 \right)\\x + 3{\rm{z}} =  - 1\left( 3 \right)\end{array} \right.\) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}3{\rm{x}} + 3y - z =  - 1\\x - y = 1\\x + 3{\rm{z}} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{{19}}\\y =  - \frac{{14}}{{19}}\\z =  - \frac{8}{{19}}\end{array} \right.\) Vậy \(H\left( {\frac{5}{{19}}; - \frac{{14}}{{19}}; - \frac{8}{{19}}} \right)\).