Đề bài

Hãy tìm phương sai, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ (nếu có) của mỗi mẫu số liệu sau: a)     90;     56;     50;     45;     46;     48;     52;     43. b)    19;     11;     1;       16;     19;     12;     14;     10;     11. c)     6,7;    6,2;    9,7;    6,3;    6,8;    6,1;    6,2. d)    0,79;  0,68;  0,35;  0,38;  0,05;  0,35.

Lời giải chi tiết

a) Trung bình của mẫu số liệu là \(\bar x{\rm{\;}} = \frac{{90 + 56 + 50 + 45 + 46 + 48 + 52 + 43}}{8} = 53,75\). Phương sai: \({S^2} = \frac{1}{8}({90^2} + {56^2} + {50^2} + {45^2} + {46^2} + {52^2} + {43^2}) - 53,{75^2} = 202,6875\). Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 43; 45; 46; 48; 50; 52; 56; 90. Số cao nhất và thấp nhất lần lượt là 90 và 43 do đó khoảng biến thiên của dãy số liệu trên là: \(R = 90 - 43 = 47\). Có \({Q_1} = \frac{{48 + 50}}{2} = 45,5\), \({Q_3} = \frac{{52 + 56}}{2} = 54\) \( \Rightarrow {\Delta _Q} = 54 - 45,5 = 8,5\). Ta có \({Q_1} - 1,5.{\Delta _Q} = 32,75\) và \({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 66,75\) nên mẫu có 1 giá trị ngoại lệ là 90. b) Trung bình của mẫu số liệu là \(\bar x{\rm{\;}} = \frac{{19 + 11 + 1 + 16 + 19 + 12 + 14 + 10 + 11}}{9} = \frac{{113}}{9}\). Phương sai: \({S^2} = \frac{1}{9}({19^2} + {11^2} + {1^2} + {16^2} + {19^2} + {12^2} + {14^2} + {10^2} + {11^2}) - {\left( {\frac{{113}}{9}} \right)^2} = 26,91\). Sắp xếp số liệu theo thứu tự không giảm, ta được: 1; 10; 11; 11; 12; 14; 16; 19; 19. Số cao nhất và thấp nhất lần lượt là 19 và 1 do đó khoảng biến thiên của dãy số liệu trên là: \(R = 19 - 1 = 18\). Có \({Q_1} = \frac{{10 + 11}}{2} = 10,5\), \({Q_3} = \frac{{16 + 19}}{2} = 17,5\) \( \Rightarrow {\Delta _Q} = 17,5 - 10,5 = 7\). Ta có \({Q_1} - 1,5.{\Delta _Q} = 0\) và \({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 28\) nên mẫu không có giá trị ngoại lệ. c) Trung bình của mẫu số liệu là \(\bar x{\rm{\;}} = \frac{{6,7 + 6,2 + 9,7 + 6,3 + 6,8 + 6,1 + 6,2}}{7} = \frac{{48}}{7}\). Phương sai: \({S^2} = \frac{1}{7}(6,{7^2} + 6,{2^2} + 9,{7^2} + 6,{3^2} + 6,{8^2} + 6,{1^2} + 6,{2^2}) - {\left( {\frac{{48}}{7}} \right)^2} = 1,41\). Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 6,1; 6,2; 6,2; 6,3; 6,7; 6,8; 9,7. Số cao nhất và thấp nhất lần lượt là 9,7 và 6,1 do đó khoảng biến thiên của dãy số liệu trên là: \(R = 9,7 - 6,1 = 3,6\). Có \({Q_1} = 6,2\), \({Q_3} = 6,8\) \( \Rightarrow {\Delta _Q} = 6,8 - 6,2 = 0,6\). Ta có \({Q_1} - 1,5.{\Delta _Q} = 5,3\) và \({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 7,7\) nên mẫu có 1 giá trị ngoại lệ là 9,7. d) Trung bình của mẫu số liệu là \(\bar x{\rm{\;}} = \frac{{0,79 + 0,68 + 0,35 + 0,38 + 0,05 + 0,35}}{6} = \frac{{13}}{{30}}\). Phương sai: \({S^2} = \frac{1}{6}(0,{79^2} + 0,{68^2} + 0,{35^2} + 0,{38^2} + 0,{05^2} + 0,{35^2}) - {\left( {\frac{{13}}{{30}}} \right)^2} = 0,059\). Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 0,05; 0,35; 0,35; 0,38; 0,68; 0,79. Số cao nhất và thấp nhất lần lượt là 0,79 và 0,05 do đó khoảng biến thiên của dãy số liệu trên là: \(R = 0,79 - 0,05 = 0,74\). Có \({Q_1} = 0,35\), \({Q_3} = 0,68\) \( \Rightarrow {\Delta _Q} = 0,68 - 0,35 = 0,33\). Ta có \({Q_1} - 1,5.{\Delta _Q} =  - 0,145\) và \({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 1,175\) nên mẫu không có giá trị ngoại lệ.