Đề bài

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD//BC, \(AD = 2BC\). Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD. a) Chứng minh (BEF)//(SCD) và CI//(BEF). b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). c) Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến vừa tìm được ở câu b, từ đó chứng minh (SBF)//(KCD).

Lời giải chi tiết

a) Vì E, F lần lượt là trung điểm của SA và AD nên EF là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra EF//SD. Mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\), EF không nằm trong mặt phẳng (SCD) nên EF//(SCD). Vì F là trung điểm của AD nên \(AF = FD = \frac{1}{2}AD\), mà \(AD = 2BC\) nên \(BC = AF = FD\) Lại có, BC//AD hay BC//DF. Do đó, tứ giác BFDC là hình bình hành nên BF//CD. Mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\), BF không nằm trong mặt phẳng (SCD) nên BF//(SCD). Vì EF//(SCD), BF//(SCD), EF và BF cắt nhau tại F và nằm trong mặt phẳng (BEF) Do đó, (BEF)//(SCD). Vì E, I lần lượt là trung điểm của SA, SD nên EI là đường trung bình của tam giác SAD, do đó, EI//AD và \(EI = \frac{1}{2}AD\) Mà AD//BC, \(BC = \frac{1}{2}AD\) nên EI//BC và \(EI = BC\). Do đó, tứ giác EICB là hình bình hành nên CI//BE Mà \(BE \subset \left( {BEF} \right)\), CI không nằm trong mặt phẳng (BEF) nên CI//(BEF). b) Ta có: BC//AD, \(BC \subset \left( {SBC} \right),AD \subset \left( {SAD} \right)\), mà \(S = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng d đi qua S và song song song với BC, AD. c) Vì \(d \subset \left( {SAD} \right),FI \subset \left( {SAD} \right)\) nên trong mặt phẳng (SAD), gọi K là giao điểm của FI và d. Vì I, F lần lượt là trung điểm của SD, AD nên IF là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, IF//SA hay KF//SA Mà SK//AF nên SKFA là hình bình hành. Do đó, \(SK = AF\) Mà \(FD = AF\) nên \(SK = FD\) Tứ giác SKDF có: \(SK = FD\), SK//DF nên SKDF là hình bình hành. Suy ra, SF//KD. Vì SF//KD, \(KD \subset \left( {KCD} \right)\), SF không nằm trong mặt phẳng (KCD) nên SF//(KCD). Vì BF//CD, \(CD \subset \left( {KCD} \right)\), BF không nằm trong mặt phẳng (KCD) nên BF//(KCD). Lại có: SF và BF cắt nhau tại F và nằm trong mặt phẳng (SBF) nên (SBF)//(KCD).