♋ Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Kết nối tri thức

Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 3

🌠Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Tải về

Làm đề thi

Phần trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1: Cho $a>0,m,n\in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đề bài

I. Trắc nghiệm

Câu 1 : Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$.
B
$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m + n}}$.
C
$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m.n}}$.
D
$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}$.

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.Cho số dương a. Khi đó:

A
${a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[4]{{{a^3}}}$.
B
${a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}$.
C
${a^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}$.
D
${a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[{\frac{4}{3}}]{a}$.

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A
$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 - \sqrt 3 $.
B
$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = - 1 + \sqrt 3 $.
C
$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 + \sqrt 3 $.
D
$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = - 1 - \sqrt 3 $.

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}}$ (với $x,y > 0$) được kết quả là:

A
y.
B
x.
C
$x{y^{\frac{1}{3}}}$.
D
xy.

Câu 5 : Giả sử cường độ ánh sáng I dưới mặt biển giảm dần theo độ sâu theo công thức $I = {I_o}{a^d}$, trong đó ${I_o}$ là cường độ ánh sáng tại mặt nước biển, a là một hằng số dương, d là độ sâu tính từ mặt nước biển (tính bằng mét). Ở một vùng biển cường độ ánh sáng tại độ sâu 1m bằng 90% cường độ ánh sáng tại mặt nước biển. Giá trị của a là:

A
$a = 9$.
B
$a = \frac{1}{9}$.
C
$a = \frac{9}{{10}}$.
D
$a = \frac{{10}}{9}$.

Câu 6 : Chọn đáp án đúng. Với $a,b > 0$ thì:

A
$\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b$.
B
$\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b$.
C
$\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln a.\ln b$.
D
$\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b$.

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

A
${\log _7}9 = {\log _3}7.{\log _3}9$.
B
${\log _7}9 = {\log _3}7 + {\log _3}9$.
C
${\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}7}}{{{{\log }_3}9}}$.
D
${\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}$.

Câu 8 : Với $0 < a \ne 1$ thì:

A
${\log _a}a = 0$.
B
${\log _a}a = 1$.
C
${\log _a}a = - 1$.
D
${\log _a}a = a$.

Câu 9 : Trong Hóa học, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức $pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right]$, trong đó $\left[ {{H^ + }} \right]$ là nồng độ ion hydrogen tính bằng mol/lít. Tính nồng độ pH của dung dịch có nồng độ ion hydrogen bằng 0,001 mol/lít.

A
2.
B
3.
C
4.
D
5.

Câu 10 :

Chọn đáp án đúng: (Các biểu thức trên đều có nghĩa)

A
${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 1$.
B
${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = - 1$.
C
${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0$.
D
${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 2$.

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ luôn:

A
Nằm phía trên trục hoành.
B
Nằm phía dưới trục hoành.
C
Nằm bên trái trục tung.
D
Nằm bên phải trục tung.

Câu 12 : Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ cơ số 3?

A
$y = {3^x}$.
B
$y = {\log _x}3$.
C
$y = {\log _3}x$.
D
$y = \ln \left( {3x} \right)$.

Câu 13 :

Hàm số nào dưới đây không phải là hàm số lôgarit?

A
$y = \ln \left( {2{x^4}} \right)$.
B
$y = \log \left( {{x^2} + 10} \right)$.
C
$y = {\log _4}\frac{1}{{{x^2} + 1}}$.
D
$y = {2^{\ln 4}}$.

Câu 14 : Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ liên tục trên:

A
$\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.
B
$\left( { - \infty ;0} \right)$.
C
$\left( {0; + \infty } \right)$.
D
$\left( { - a;a} \right)$.

Câu 15 : Cho đồ thị các hàm số $y = {a^x},y = {b^x},y = {\log _c}x$ như hình vẽ dưới

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A
$a > b > c > 1$.
B
$a > b > 1 > c$.
C
$a > 1 > b > c$.
D
$a < b < c < 1$.

Câu 16 : Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x$. Biết rằng: $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = M,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = m$. Khi đó:

A
$M + m = 2$.
B
$M + m = 5$.
C
$M + m = 6$.
D
$M + m = 4$.

Câu 17 : Bất phương trình ${a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi:

A
$b > 0$.
B
$b \ge 0$.
C
$b \le 0$.
D
$b \ne 0$.

Câu 18 : Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\sqrt 5 } \right)^x} > 5$ là:

A
$S = \left( { - \infty ;2} \right)$.
B
$S = \left( { - \infty ;2} \right]$.
C
$S = \left( {2; + \infty } \right)$.
D
$S = \left[ {2; + \infty } \right)$.

Câu 19 : Phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}x = - 2$ có nghiệm là:

A
$x = - 4$.
B
$x = 4$.
C
$x = \frac{{ - 1}}{4}$.
D
$x = \frac{1}{4}$.

Câu 20 : Nếu x và y thỏa mãn ${4^x} = 16$ và ${3^{x + y}} = 729$ thì y bằng:

A
$y = 4$.
B
$y = 3$.
C
$y = - 4$.
D
$y = - 3$.

Câu 21 : Khi gửi tiết kiệm P (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là r (r cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền A (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau t kì gửi là $A = P{\left( {1 + r} \right)^t}$ (đồng). Thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp ba là:

A
$t = {\log _{1 + r}}3$ năm.
B
$t = {\log _3}\left( {1 + r} \right)$ năm.
C
$t = {\log _{1 + r}}2$ năm.
D
$t = {\log _2}\left( {1 + r} \right)$ năm.

Câu 22 : Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 3} \right) + {\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 2} \right) \ge - 1$ có nghiệm là:

A
$ - 2 \le x \le 3$.
B
$ - 2 < x < 3$.
C
$ - 2 < x \le 0$.
D
$ - 5 \le x \le 0$.

Câu 23 : Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{{x^2} - x}} \le 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ là:

A
$S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$.
B
$S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.
C
$S = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.
D
$S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$.

Câu 24 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A
Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).
B
Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
C
Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc tù.
D
Cả A, B, C đều đúng.

Câu 25 :

Góc giữa hai đường thẳng không thể bằng:

A
40⁰.
B
50⁰.
C
90⁰.
D
160⁰.

Câu 26 : Cho hình chóp S. ABCD có ABCD là hình chữ nhật và I là 1 điểm thuộc cạnh AB sao cho $SI \bot AB$. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng CD và SI bằng bao nhiêu độ?

A
${90^0}$.
B
${60^0}$.
C
${30^0}$.
D
${70^0}$.

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng SA và DC bằng:

A
${60^0}$.
B
${90^0}$.
C
${120^0}$.
D
${70^0}$.

Câu 28 : Cho hình chóp S.ABC có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ $AH \bot SB\left( {H \in SB} \right)$. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm:

A
A.
B
B.
C
C.
D
H.

Câu 29 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
(ABCD)$ \bot $ (A’B’C’D).
B
$AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$.
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Câu 30 : Chọn đáp án đúng.Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng:

A
${30^0}$.
B
${90^0}$.
C
${60^0}$.
D
${0^0}$.

Câu 31 : Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A
Đường thẳng b cắt mặt phẳng (P).
B
Đường thẳng b song song mặt phẳng (P).
C
Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P).
D
Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Câu 32 : Một chiếc cột dựng trên nền sân phẳng. Gọi O là điểm đặt chân cột trên mặt sân và M là điểm trên cột cách chân cột 30cm. Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm A và B cách đều O là 40cm (A, B, O không thẳng hàng). Người ta đo độ dài MA và MB đều bằng 50cm. Chọn khẳng định đúng.

A
Tam giác MOB là tam giác tù.
B
Tam giác MAO là tam giác nhọn.
C
$MO \bot \left( {AOB} \right)$.
D
Cả A, B, C đều đúng.

Câu 33 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và $SC = a\sqrt 2 $. Gọi H là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm:

A
A.
B
B.
C
C.
D
H.

Câu 34 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây là sai?

A
$OC \bot \left( {ABC} \right)$.
B
$OC \bot \left( {ABO} \right)$.
C
$OB \bot \left( {OAC} \right)$.
D
$OA \bot \left( {OBC} \right)$.

Câu 35 : Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $SA \bot \left( {ABC} \right)$. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng:

A
SB.
B
SA.
C
SB.
D
AH.

II. Tự luận

Câu 1 : 🧜 Cho hàm số: $y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]$. a) Với $m = 1$, hãy tìm tập xác định của hàm số trên. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Câu 2 : 🐭 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) H là trực tâm của tam giác ABC. b) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Câu 3 : 🎐 Cho phương trình $3{\log _8}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right) = 0$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 15$?

Lời giải và đáp án

I. Trắc nghiệm

Câu 1 : Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A
$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$.
B
$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m + n}}$.
C
$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m.n}}$.
D
$\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khi đó: $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$

Lời giải chi tiết :

Cho $a > 0,m,n \in \mathbb{R}$. Khi đó: $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}$

Đáp án A.

Câu 2 : Chọn đáp án đúng.Cho số dương a. Khi đó:

A
${a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[4]{{{a^3}}}$.
B
${a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}$.
C
${a^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}$.
D
${a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[{\frac{4}{3}}]{a}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$, trong đó $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$. Ta có: ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

Lời giải chi tiết :

${a^{\frac{4}{3}}} = \sqrt[3]{{{a^4}}}$

Đáp án B.

Câu 3 : Chọn đáp án đúng:

A
$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 - \sqrt 3 $.
B
$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = - 1 + \sqrt 3 $.
C
$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = 1 + \sqrt 3 $.
D
$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = - 1 - \sqrt 3 $.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|$ khi n chẵn (với các biểu thức đều có nghĩa).

Lời giải chi tiết :

$\sqrt[6]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^6}}} = - 1 + \sqrt 3 $.

Đáp án B.

Câu 4 : Rút gọn biểu thức $\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}}$ (với $x,y > 0$) được kết quả là:

A
y.
B
x.
C
$x{y^{\frac{1}{3}}}$.
D
xy.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r = \frac{m}{n}$, trong đó $m,n \in \mathbb{Z},n > 0$. Ta có: ${a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$

Lời giải chi tiết :

$\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}y + x{y^{\frac{4}{3}}}}}{{\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y}}} = \frac{{xy\left( {{x^{\frac{1}{3}}} + {y^{\frac{1}{3}}}} \right)}}{{{x^{\frac{1}{3}}} + {y^{\frac{1}{3}}}}} = xy$

Đáp án D.

A
$a = 9$.
B
$a = \frac{1}{9}$.
C
$a = \frac{9}{{10}}$.
D
$a = \frac{{10}}{9}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

${a^1} = a$

Lời giải chi tiết :

Với $d = 1,I = \frac{{90}}{{100}}{I_o}$ thay vào $I = {I_o}{a^d}$ ta có: $\frac{{90}}{{100}}{I_o} = {I_o}{a^1} \Rightarrow a = \frac{9}{{10}}$. Vậy $a = \frac{9}{{10}}$.

Đáp án C.

Câu 6 : Chọn đáp án đúng. Với $a,b > 0$ thì:

A
$\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b$.
B
$\ln \left( {ab} \right) = \ln a.\ln b$.
C
$\ln \left( {{a^b}} \right) = \ln a.\ln b$.
D
$\ln \left( {a + b} \right) = \ln a.\ln b$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với $a,b > 0$ thì $\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b$.

Lời giải chi tiết :

Với $a,b > 0$ thì $\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b$.

Đáp án A.

Câu 7 : Chọn đáp án đúng.

A
${\log _7}9 = {\log _3}7.{\log _3}9$.
B
${\log _7}9 = {\log _3}7 + {\log _3}9$.
C
${\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}7}}{{{{\log }_3}9}}$.
D
${\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Với a, b, c là các số dương và $a \ne 1,b \ne 1$ thì ꦛ${\log _a}c = \frac{{{{\log }_b}c}}{{{{\log }_b}a}}$.

Lời giải chi tiết :

${\log _7}9 = \frac{{{{\log }_3}9}}{{{{\log }_3}7}}$

Đáp án D.

Câu 8 : Với $0 < a \ne 1$ thì:

A
${\log _a}a = 0$.
B
${\log _a}a = 1$.
C
${\log _a}a = - 1$.
D
${\log _a}a = a$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với $0 < a \ne 1$ thì ${\log _a}a = 1$.

Lời giải chi tiết :

Với $0 < a \ne 1$ thì ${\log _a}a = 1$.

Đáp án B.

A
2.
B
3.
C
4.
D
5.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với a là số thực dương và $a \ne 1$ thì $\log {\,_a}{a^\alpha } = \alpha $

Lời giải chi tiết :

Với $\left[ {{H^ + }} \right] = 0,001$ thay vào $pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right]$ ta có:$pH = - \log \left[ {{H^ + }} \right] = - \log 0,001 = - \log {10^{ - 3}} = 3$Vậy nồng độ pH của dung dịch bằng 3.

Đáp án B.

Câu 10 :

Chọn đáp án đúng: (Các biểu thức trên đều có nghĩa)

A
${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 1$.
B
${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = - 1$.
C
${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0$.
D
${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 2$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với a là số thực dương và $a \ne 1$ thì $\log {\,_a}1 = 0$.Với $0 < a \ne 1,b,c > 0$ thì ${\log _a}\left( {bc} \right) = {\log _a}b + {\log _a}c$.

Lời giải chi tiết :

${\log _a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\log _a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _a}\left[ {\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)} \right]$$ = {\log _a}\left( {{x^2} - {x^2} + 1} \right) = {\log _a}1 = 0$

Đáp án C.

Câu 11 : Đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ luôn:

A
Nằm phía trên trục hoành.
B
Nằm phía dưới trục hoành.
C
Nằm bên trái trục tung.
D
Nằm bên phải trục tung.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ luôn nằm bên phải trục tung.

Lời giải chi tiết :

Đồ thị hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ luôn nằm bên phải trục tung.

Đáp án D.

Câu 12 : Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ cơ số 3?

A
$y = {3^x}$.
B
$y = {\log _x}3$.
C
$y = {\log _3}x$.
D
$y = \ln \left( {3x} \right)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {3^x}$ có cơ số là 3.

Đáp án A.

Câu 13 :

Hàm số nào dưới đây không phải là hàm số lôgarit?

A
$y = \ln \left( {2{x^4}} \right)$.
B
$y = \log \left( {{x^2} + 10} \right)$.
C
$y = {\log _4}\frac{1}{{{x^2} + 1}}$.
D
$y = {2^{\ln 4}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số a.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {2^{\ln 4}}$ không phải là hàm số lôgarit

Đáp án D.

Câu 14 : Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ liên tục trên:

A
$\left( { - \infty ; + \infty } \right)$.
B
$\left( { - \infty ;0} \right)$.
C
$\left( {0; + \infty } \right)$.
D
$\left( { - a;a} \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Đáp án C.

Câu 15 : Cho đồ thị các hàm số $y = {a^x},y = {b^x},y = {\log _c}x$ như hình vẽ dưới

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A
$a > b > c > 1$.
B
$a > b > 1 > c$.
C
$a > 1 > b > c$.
D
$a < b < c < 1$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.Nếu $a > 1$ thì hàm số $y = {a^x}\left( {a > 0} \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy hàm số $y = {\log _c}x$ nghịch biến nên $c < 1$.Hàm số $y = {a^x},y = {b^x}$ đồng biến nên $a > 1,b > 1$.Xét tại $x = 1$ thì đồ thị hàm số $y = {a^x}$ có tung độ lớn hơn tung độ của đồ thị hàm số $y = {b^x}$ nên $a > b$. Do đó, $a > b > 1 > c$.

Đáp án B.

A
$M + m = 2$.
B
$M + m = 5$.
C
$M + m = 6$.
D
$M + m = 4$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Cho hàm số $y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$:+ Nếu $a > 1$ thì hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.+ Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Lời giải chi tiết :

Hàm số $y = f\left( x \right) = {\log _{\sqrt 3 }}x$ có $\sqrt 3 > 1$ nên đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.Do đó, $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _{\sqrt 3 }}3 = 2,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {3;9} \right]} y = f\left( 9 \right) = {\log _{\sqrt 3 }}9 = 4$Do đó, $M + m = 6$

Đáp án C.

Câu 17 : Bất phương trình ${a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi:

A
$b > 0$.
B
$b \ge 0$.
C
$b \le 0$.
D
$b \ne 0$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bất phương trình ${a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi $b \le 0$.

Lời giải chi tiết :

Bất phương trình ${a^x} > b\left( {0 < a \ne 1} \right)$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$ khi $b \le 0$.

Đáp án C.

Câu 18 : Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\sqrt 5 } \right)^x} > 5$ là:

A
$S = \left( { - \infty ;2} \right)$.
B
$S = \left( { - \infty ;2} \right]$.
C
$S = \left( {2; + \infty } \right)$.
D
$S = \left[ {2; + \infty } \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Với $a > 1$ thì ${a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) > v\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết :

${\left( {\sqrt 5 } \right)^x} > 5 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 } \right)^x} > {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} \Leftrightarrow x > 2$Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \left( {2; + \infty } \right)$

Đáp án C.

Câu 19 : Phương trình ${\log _{\frac{1}{2}}}x = - 2$ có nghiệm là:

A
$x = - 4$.
B
$x = 4$.
C
$x = \frac{{ - 1}}{4}$.
D
$x = \frac{1}{4}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phương trình ${\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$ luôn có nghiệm duy nhất $x = {a^b}$.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x > 0$${\log _{\frac{1}{2}}}x = - 2 \Leftrightarrow x = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = 4$ (thỏa mãn)Vậy phương trình có nghiệm $x = 4$.

Đáp án B.

Câu 20 : Nếu x và y thỏa mãn ${4^x} = 16$ và ${3^{x + y}} = 729$ thì y bằng:

A
$y = 4$.
B
$y = 3$.
C
$y = - 4$.
D
$y = - 3$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

${a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

${4^x} = 16 \Leftrightarrow {4^x} = {4^2} \Leftrightarrow x = 2$Khi đó: ${3^{x + y}} = 729 \Leftrightarrow {3^{2 + y}} = {3^6} \Leftrightarrow y + 2 = 6 \Leftrightarrow y = 4$

Đáp án A.

A
$t = {\log _{1 + r}}3$ năm.
B
$t = {\log _3}\left( {1 + r} \right)$ năm.
C
$t = {\log _{1 + r}}2$ năm.
D
$t = {\log _2}\left( {1 + r} \right)$ năm.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho phương trình ${a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)$. Nếu $b > 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x = {\log _a}b$.

Lời giải chi tiết :

Để số tiền ban đầu tăng gấp ba thì $A = 3P$. Thay $A = 3P$ vào $A = P{\left( {1 + r} \right)^t}$ ta có:$3P = P{\left( {1 + r} \right)^t} \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^t} = 3 \Leftrightarrow t = {\log _{1 + r}}3$ (năm)

Đáp án A.

Câu 22 : Bất phương trình ${\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 3} \right) + {\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 2} \right) \ge - 1$ có nghiệm là:

A
$ - 2 \le x \le 3$.
B
$ - 2 < x < 3$.
C
$ - 2 < x \le 0$.
D
$ - 5 \le x \le 0$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu $0 < a < 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) \ge {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) \le v\left( x \right)\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x > - 2$${\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 3} \right) + {\log _{\frac{1}{6}}}\left( {x + 2} \right) \ge - 1 \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{6}}}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \right] \ge {\log _{\frac{1}{6}}}6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x + 6 \le 6 \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 0$$ \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le x \le 0$Kết hợp với điều kiện ta có: $ - 2 < x \le 0$.

Đáp án C.

Câu 23 : Tập nghiệm của bất phương trình ${2^{{x^2} - x}} \le 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}$ là:

A
$S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$.
B
$S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.
C
$S = \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.
D
$S = \left( { - \infty ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Với $a > 1$ thì ${a^{u\left( x \right)}} \le {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) \le v\left( x \right)$.

Lời giải chi tiết :

${2^{{x^2} - x}} \le 4.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \Leftrightarrow {2^{{x^2} - x}} \le {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {x^2} - x \le 2 - x \Leftrightarrow {x^2} \le 2 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 $Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $S = \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.

Đáp án B.

Câu 24 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A
Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c (hoặc b trùng với c).
B
Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn.
C
Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc tù.
D
Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90⁰.

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$.

Lời giải chi tiết :

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b; kí hiệu $\left( {a,b} \right)$ hoặc $\widehat {\left( {a;b} \right)}$ nên câu A đúng.

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90⁰nên câu b, c đều sai.

Đáp án A.

Câu 25 :

Góc giữa hai đường thẳng không thể bằng:

A
40⁰.
B
50⁰.
C
90⁰.
D
160⁰.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90⁰.

Lời giải chi tiết :

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90⁰ nên góc giữa hai đường thẳng không thể bằng 160⁰.

Đáp án D.

A
${90^0}$.
B
${60^0}$.
C
${30^0}$.
D
${70^0}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90⁰

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD là chữ nhật AB//CD. Mà $SI \bot AB$ nên $SI \bot CD$. Do đó, góc giữa hai đường thẳng SI và CD bằng ${90^0}$.

Đáp án A.

Câu 27 : Cho hình chóp S. ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng SA và DC bằng:

A
${60^0}$.
B
${90^0}$.
C
${120^0}$.
D
${70^0}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Tứ giác ABCD có $AB = BC = CD = DA$ nên tứ giác ABCD là hình thoi. Do đó, DC//AB.Suy ra: $\left( {SA,DC} \right) = \left( {SA,AB} \right) = \widehat {SAB}$Tam giác SAB có: $SA = SB = AB$ nên tam giác SAB là tam giác đều. Do đó, $\widehat {SAB} = {60^0}$

Đáp án A.

A
A.
B
B.
C
C.
D
H.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) là điểm A.

Đáp án A.

Câu 29 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D có $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A
(ABCD)$ \bot $ (A’B’C’D).
B
$AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$.
C
Cả A và B đều đúng.
D
Cả A và B đều sai.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Vì ABCD.A’B’C’D là hình hộp nên (ABCD)// (A’B’C’D), mà $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$.

Đáp án B.

A
${30^0}$.
B
${90^0}$.
C
${60^0}$.
D
${0^0}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b.

Lời giải chi tiết :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b. Do đó, góc giữa hai đường thẳng a và b bằng ${90^0}$

Đáp án B.

Câu 31 : Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A
Đường thẳng b cắt mặt phẳng (P).
B
Đường thẳng b song song mặt phẳng (P).
C
Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P).
D
Đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a thì đường thẳng b nằm trên mặt phẳng (P) hoặc song song với mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Đáp án D.

A
Tam giác MOB là tam giác tù.
B
Tam giác MAO là tam giác nhọn.
C
$MO \bot \left( {AOB} \right)$.
D
Cả A, B, C đều đúng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$.

Lời giải chi tiết :

Vì ${50^2} = {30^2} + {40^2}$ nên $M{A^2} = M{O^2} + O{A^2}$ và $M{B^2} = M{O^2} + O{B^2}$Do đó, tam giác MOA vuông tại O và tam giác MOB vuông tại O.Suy ra, $MO \bot OA,MO \bot OB$Mà OA và OB cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OAB). Do đó, $MO \bot \left( {AOB} \right)$.

Đáp án C.

A
A.
B
B.
C
C.
D
H.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$.+ Cho mặt phẳng (P). Xét một điểm M tùy ý trong không gian. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P). Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Khi đó, điểm M’ được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác ABS đều nên SH là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác SHB vuông tại H có:$SH = \sqrt {S{B^2} - H{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CHB vuông tại B có:$CH = \sqrt {B{C^2} + H{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$Ta có: $S{H^2} + H{C^2} = S{C^2}\left( {do\;{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} = {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \right)$ nên tam giác SHC vuông tại H.Suy ra: $SH \bot HC$Lại có: $SH \bot AB$, HC và AB cắt nhau tại H và nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, $SH \bot \left( {ABCD} \right)$. Vậy H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

Đáp án D.

Câu 34 :

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây là sai?

A
$OC \bot \left( {ABC} \right)$.
B
$OC \bot \left( {ABO} \right)$.
C
$OB \bot \left( {OAC} \right)$.
D
$OA \bot \left( {OBC} \right)$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$.

Lời giải chi tiết :

Vì $OA \bot OB,OA \bot OC$ và OB và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBC) nên $OA \bot \left( {OBC} \right)$ nên câu D đúng.Vì $OC \bot OB,OA \bot OC$ và OB và OA cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBA) nên $OC \bot \left( {ABO} \right)$ nên câu B đúng.Vì $OA \bot OB,OB \bot OC$ và OA và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OAC) nên $OB \bot \left( {OAC} \right)$ nên câu C đúng.Vì $OC \bot OB$ nên tam giác OBC vuông tại O. Do đó, OC không thể vuông góc với CB. Suy ra, OC không vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên câu A sai.

Đáp án A.

A
SB.
B
SA.
C
SB.
D
AH.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Lời giải chi tiết :

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right),AC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC$Tam giác ABC vuông tại A nên $AB \bot AC$.Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, $AC \bot \left( {SAB} \right)$.Do đó, A là hình chiếu vuông góc của điểm C trên mặt phẳng (SAB). Suy ra, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (SAB) là đường thẳng SA.

Đáp án B.

II. Tự luận

Câu 1 : ⛎ Cho hàm số: $y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]$. a) Với $m = 1$, hãy tìm tập xác định của hàm số trên. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Phương pháp giải :

Hàm số $y = \ln u\left( x \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$.

Lời giải chi tiết :

a) Với $m = 1$ ta có: $y = \ln 2 > 0$. Vậy với $m = 1$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ; + \infty } \right)$. b) Hàm số $y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]$ xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Trường hợp 1:🐷 ${m^2} + 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 5\\m = 1\end{array} \right.$

Với $m = 1$ ta có: $f\left( x \right) = 2 > 0$. Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = 1$ thỏa mãn. Với $m = - 5$ ta có: $f\left( x \right) = 12x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 1}}{6}$. Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = - 5$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2:ᩚᩚᩚᩚᩚᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ𒀱ᩚᩚᩚ Với ${m^2} + 4m - 5 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 5\\m \ne 1\end{array} \right.$.

Hàm số $f\left( x \right) = \left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m - 5 > 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 4m - 5} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\ - {m^2} - 10m + 11 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\\\left( {m + 11} \right)\left( {m - 1} \right) > 0\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 5\\m > 1\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m < - 11\\m > 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 11\\m > 1\end{array} \right.$ Vậy với $m \in \left( { - \infty ; - 11} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right)$ thì hàm số $y = \ln \left[ {\left( {{m^2} + 4m - 5} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2} \right]$ có tập xác định với mọi giá trị thực của x.

Câu 2 : 💫 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: a) H là trực tâm của tam giác ABC. b) $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$.

Phương pháp giải :

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d \bot \left( P \right)$. + Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Vì $OA \bot OB,OA \bot OC$ và OB và OC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OBC) nên $OA \bot \left( {OBC} \right)$. Mà $BC \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC$ Vì $OH \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC$ Ta có: $OH \bot BC,OA \bot BC$, OA và OH cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (OAH). Do đó, $BC \bot \left( {OAH} \right)$. Mà $AH \subset \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH$. Chứng minh tương tự ta có: $CA \bot BH$. Tam giác ABC có hai đường cao AH và BH cắt nhau tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC. b) Gọi K là giao điểm của AH và BC. Khi đó, $OK \bot BC\left( {do\;BC \bot \left( {OAH} \right)} \right),$ $OA \bot OK\left( {do\;OA \bot \left( {OBC} \right)} \right)$ Suy ra OK là đường cao của tam giác vuông OBC và OH là đường cao của tam giác vuông OAK. Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông OBC vuông tại O và OAK vuông tại O ta có: $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}}$ và $\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ Do đó, $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$

Câu 3 : 🍌 Cho phương trình $3{\log _8}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right) = 0$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 15$?

Phương pháp giải :

Nếu $a > 0,a \ne 1$ thì ${\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.$ (có thể thay $u\left( x \right) > 0$ bằng $v\left( x \right) > 0$)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: ${x^2} - x + 1 - 3m > 0\left( * \right)$ $3{\log _8}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m} \right] = {\log _2}\left( {{x^2} - x + 1 - 3m} \right)$ $ \Leftrightarrow 2{x^2} - \left( {m + 3} \right)x + 1 - m = {x^2} - x + 1 - 3m \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 2m = 0\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = 2\end{array} \right.$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn (*) $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - m + 1 - 3m > 0\\{2^2} - 2 + 1 - 3m > 0\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 > 0\\3 - 3m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2 - \sqrt 3 \left( {**} \right)$ Theo giả thiết: $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| < 15 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} < 225 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.2m < 225$ $ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 221 < 0 \Leftrightarrow - 13 < m < 17\left( {***} \right)$ Từ (**) và (***) ta có: $ - 13 < m < 2 - \sqrt 3 $. Mà m là số nguyên nên $m \in \left\{ { - 12; - 11;...;0} \right\}$. Vậy có 13 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Bài liên quan