Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. 🎃Cho mệnh đề chứa biến  chia hết cho 5”. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(P(2)\)                           B. \(P(4)\).                          C. \(P(3)\).                          D. \(P(7)\)

Câu 2. 🅰Cặp số \((1; - 1)\) là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. \(x + y - 3 > 0\)            B. \( - x - y < 0\).               C. \(x + 3y + 1 < 0\).              D. \( - x - 3y - 1 < 0\)

Câu 3. 💫Mệnh đề phủ định của mệnh đề “Có một số thực sao cho bình phương của nó không là số nguyên dương”

A. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)                   B. \(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\).     C. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\).                        D. \(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)

Câu 4. Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}} + \sqrt {{x^2} - 9} \)

A. \((3; + \infty )\).         B. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ 1;3\} \)         C. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}( - 3;3]\).              D. \(\mathbb{R}{\rm{\backslash }}[ - 3;3]\).

Câu 5. ꦚCho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(f( - 5) < f( - 1)\)             B. \(f(7) < f(11)\)            C. \(f(1) > f(6)\)                D. \(f(2022) > f(20)\)

Câu 6. ✤Cho hai tập hợp \(X = \{ 1;3;5;8\} ,Y = \{ 3;5;7;9\} \). Tập hợp \(X \cup Y\) bằng tập hợp nào sau đây?

A. \(\{ 3;5\} \)                    B. \(\{ 1;3;5;7;8;9\} \).     C. \(\{ 1;7;9\} \).                D. \(\{ 1;3;5\} \)

Câu 7. ༒Biết rằng \({C_\mathbb{R}}A = [ - 3;11)\) và \({C_\mathbb{R}}B = ( - 8;1]\). Khi đó, \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right)\) bằng?

A. \(( - 8;11)\)                    B. \([3;1]\).                  C. \(( - \infty ; - 8] \cup [11; + \infty )\).                   D. \(( - \infty ; - 3) \cup (1; + \infty )\)

Câu 8. ♋Cho mệnh đề: “Có học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề này là:

A.ও Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Văn.

B. 🗹Mọi học sinh trong lớp 10A đều không thích học môn Toán.

C. Có học sinh trong lớp 10A thích học môn Toán.       

D. 🍸Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán.

Câu 9. ☂Cho hàm số \(f(x) =  - {x^2} + 2x - 5\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;1)\), nghịch biến trên \((1; + \infty )\).

B. Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\), nghịch biến trên \(( - \infty ;1)\).

C. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

D. Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Câu 10. 💟Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 2}  + 5\quad (x \ge 2)\\3{x^2} - x + 1\quad (x < 2)\end{array} \right.\). Giá trị của \(2.f(3) - 4.f(1)\) là:

A. \(38\)                        B. \(12\)                        C. \(0\).                         D. \( - 4\).

Câu 11. 🃏Trong mặt phẳng Oxy, phần nửa mặt phẳng không tô màu (không kể bờ) trong hình dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào?

 

A. \(2x - y > 3\).                  B. \(2x - y < 3\).                  C. \(x - 2y > 3\).      D. \(x - 2y < 3\).

Câu 12. 🔯Cho \(M = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là bội của \(2\} \), \(N = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là bội của \(6\} \), \(P = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của \(2\} \), \(Q = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của \(6\} \). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.\(M \subset N\).             B. \(Q \subset P\).              C.\(M \cap N = N\).             D. \(P \cap Q = Q\).

Câu 13. ♔Cặp số \((2;3)\) không là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A.\(2x - 3y - 1 < 0\).           B. \(x - y > 0\).                     C.\(4x - 3y < 0\).     D. \(x + 3y - 7 \ge 0\).

Câu 14. 💜Cho hàm số \(y = {x^2} - 2x + 108\), mệnh đề nào sai?

A. Đồ thị hàm số nhận \(I(1;107)\) làm đỉnh

B. Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\).

C. Hàm số nghịch biến trên\(( - 5;0)\).                       

D. Đồ thị hàm số có trục đối xứng \(x =  - 1\).

Câu 15. 𝄹Cho \(A = (2; + \infty )\) và \(B = (m; + \infty )\). Điều kiện cần và đủ của m để \(B \subset A\) là

A.\(m \ge 2\).                     B. \(m \le 2\).                     C.\(m = 2\).             D. \(m > 2\).

 

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1.

a) Cho hai tập hợp \(A = \{ x \in \mathbb{Z}|(2x + 1)({x^2} - 9) = 0\} \) và \(B = \{ x \in \mathbb{N}|x < 4\} \). Xác định các tập hợp \(A \cap B,A \cup B,A{\rm{\backslash }}B\) b) Cho hai tập hợp \(M = (0;3)\) và \(N = [m;m + 1)\). Tìm \(m \in \mathbb{Z}\) để \(M \cap N = N\)

Câu 2. Trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi sản phẩm mới, công ty X cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, mỗi chiếc chở được tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng, giá thuê là 4 triệu; xe loại B có 9 chiếc, mỗi chiếc chở được tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng, giá thuê là 3 triệu. Hỏi công ty cần thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất?

Câu 3.

a) Xác định parabol (P) biết \((P):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua A(2;-2) và có đỉnh \(I(\frac{5}{2};\frac{{ - 9}}{4})\) b) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.

Câu 4. 💝Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của hàm số: \(y = 3{x^2} - 6x + 7\) trên đoạn [0;8].

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

 

Câu 1.

Cách giải:

Ta có: \(P(2) = 5,P(4) = 17,P(3) = 10,P(7) = 50\)

Chọn B

Câu 2.

Cách giải:

Thay \(x = 1,y =  - 1\) vào từng bất phương trình, ta được:  \(1 + ( - 1) - 3 = 3 < 0\) => Lọai A \( - 1 - ( - 1) = 0\) => Loại B \(1 + 3.( - 1) + 1 =  - 1 < 0\) => Chọn C \( - 1 - 3.( - 1) - 1 = 1 > 0\) => Loại D

Chọn C

Câu 3.

Cách giải:

Viết lại mệnh đề đã cho: P: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 0\)” Suy ra \(\overline P :\) “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0\)”

Chọn D

Câu 4.

Cách giải:

Hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4x + 3}} + \sqrt {{x^2} - 9} \) xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 \ne 0\\{x^2} - 9 \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(x - 1)(x - 3) \ne 0\\{x^2} \ge 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 3\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x \le  - 3\end{array} \right.\) Vậy tập xác định \(D = ( - \infty ; - 3] \cup (3; + \infty ) = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}( - 3;3]\)

Chọn C

Câu 5.

Cách giải:

Từ đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số đồng biến trên (0;12) và nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((12; + \infty )\) Vì \( - 5 <  - 1\) nên \(f( - 5) > f( - 1)\) => Loại A. Vì \(7 < 11\) nên \(f(7) < f(11)\) => Chọn B. Vì \(1 < 6\) nên \(f(1) < f(6)\) => Loại C. Vì \(2022 > 20\) nên \(f(2022) < f(20)\) => Loại D.

Chọn B

Câu 6.

Cách giải:

Ta có: \(X \cup Y = \{ 1;3;5;7;8;9\} \)

Chọn B

Câu 7.

Cách giải:

Ta có: \({C_\mathbb{R}}A = [ - 3;11) \Rightarrow A = ( - \infty ; - 3) \cup [11; + \infty )\) \({C_\mathbb{R}}B = ( - 8;1] \Rightarrow B = ( - \infty ; - 8] \cup (1; + \infty )\) \(\begin{array}{l} \Rightarrow A \cap B = ( - \infty ; - 8] \cup [11; + \infty )\\ \Rightarrow {C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = ( - 8;11)\end{array}\)

Chọn A

Câu 8.

Cách giải:

Phủ định của mệnh đề đó là: “Mọi học sinh trong lớp 10A đều thích học môn Toán”.

Chọn D

Câu 9.

Cách giải:

Hàm số \(f(x) =  - {x^2} + 2x - 5\) có \(a =  - 1 < 0,b = 2, - \frac{b}{{2a}} = 1\) và \(f(1) =  - 4\) Ta có bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên \(( - \infty ;1)\) và nghịch biến trên\((1; + \infty )\).

Chọn A

Câu 10.

Cách giải:

Tại \(x = 3 \ge 2\) thì \(f(3) = \sqrt {3 - 2}  + 5 = 6\) Tại \(x = 1 < 2\) thì \(f(1) = {3.1^2} - 1 + 1 = 3\) \( \Rightarrow 2.f(3) - 4.f(1) = 2.6 - 4.3 = 0\)

Chọn C

Câu 11.

Cách giải:

+ Xác định đường thẳng là bở của miền nghiệm: Đường thẳng d đi qua \(A(\frac{3}{2};0)\) và \(B(0; - 3)\) \( \Rightarrow d:2x - y = 3\) + Điểm O(0;0) thuộc miền nghiệm và \(2.0 - 0 = 0 < 3\) Do đó BPT cần tìm là \(2x - y < 3\)

Chọn B

Câu 12.

Cách giải:

\(M = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là bội của \(2\}  = \{ 0;2;4;6;8;...\} \) \(N = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là bội của \(6\}  = \{ 0;6;12;18;24;...\} \) \(P = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của \(2\}  = \{ 1;2\} \) \(Q = \{ x \in \mathbb{N}|x\) là ước của \(6\}  = \{ 1;2;3;6\} \) Ta có: \(N \subset M\) và \(P \subset Q\) Do đó: \(M \cap N = N\) và \(P \cap Q = P\)

Chọn C

Câu 13.

Cách giải:

Thay \(x = 2,y = 3\) vào từng bất phương trình, ta được: \(2.2 - 3.3 - 1 =  - 6 < 0 \Rightarrow A(2;3)\) là nghiệm của BPT \(2x - 3y - 1 < 0\) \(2 - 3 =  - 1 < 0 \Rightarrow A(2;3)\) không là nghiệm của BPT \(x - y > 0\) \(4.2 - 3.3 =  - 1 < 0 \Rightarrow A(2;3)\) là nghiệm của BPT \(4x - 3y < 0\) \(2 + 3.3 - 7 = 4 \ge 0 \Rightarrow A(2;3)\) là nghiệm của BPT \(x + 3y - 7 \ge 0\)

Chọn B

Câu 14.

Cách giải:

Hàm số \(y = {x^2} - 2x + 108\) có \(a = 1 > 0,b =  - 2,c = 108\) \( \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{ - 2}}{{2.1}} = 1;f(1) = 107\) \( \Rightarrow \)Đồ thị hàm số có đỉnh \(I(1;107)\) và trục đối xứng \(x = 1\)

Hàm số đồng biến trên \((1; + \infty )\) 🍒và nghịch biến trên\(( - \infty ;1) \supset ( - 5;0)\).

Chọn D

Câu 15. 🐓Cho \(A = (2; + \infty )\) và \(B = (m; + \infty )\). Điều kiện cần và đủ của m để \(B \subset A\) là

     A.\(m \ge 2\).                B. \(m \le 2\).                     C.\(m = 2\).             D. \(m > 2\).

Cách giải:

\(B \subset A \Leftrightarrow (m; + \infty ) \subset (2; + \infty ) \Leftrightarrow m \ge 2\)

Chọn A

 

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1:

Phương pháp:

a) \(A \cap B = \{ x \in A|x \in B\} \)      b) \(A \cup B = \{ x|x \in A\) hoặc \(x \in B\} \) c) \(A{\rm{\backslash }}B = \{ x \in A|x \notin B\} \)

Cách giải:

a) Ta có: \((2x + 1)({x^2} - 9) = 0 \Leftrightarrow (2x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\x - 3 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\x = 3\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Mà \( - \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow A = \{  - 3;3\} \) \(B = \{ x \in \mathbb{N}|x < 4\}  = \{ 0;1;2;3\} \) Do đó \(A \cap B = \{ 3\} ,A \cup B = \{  - 3;0;1;2;3\} ,A{\rm{\backslash }}B = \{  - 3\} \) b) \(M = (0;3)\) và. Để \(M \cap N = N \Leftrightarrow N \subset M\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow [m;m + 1) \subset (0;3)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m + 1 \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 2\end{array}\) Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 1\) hoặc \(m = 2\). Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = 2\) thì \(M \cap N = N.\)  

Câu 2:

Cách giải:

Gọi x là số xe loại A, y là số xe loại B mà công ty cần thuê  (đơn vị: chiếc). \((x,y \in \mathbb{N})\) Theo đề bài ta có: \(0 \le x \le 10\) và \(0 \le y \le 9\) Tổng chi phí thuê xe là \(F(x;y) = 4x + 3y\) (triệu đồng) Số người cần chở là 140 mà mỗi xe A chở tối đa 20 người, mỗi xe B chở tối đa 10 người nên ta có \(20x + 10y \ge 140\) hay \(2x + y \ge 14\) Số hàng cần chở là 9 tấn mà mỗi xe A chở được 0,6 tấn, mỗi xe B chở được 1,5 tấn nên ta có \(0,6x + 1,5y \ge 9\) hay \(2x + 5y \ge 30\) Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 10\\0 \le y \le 9\\2x + y \ge 14\\2x + 5y \ge 30\end{array} \right.\) Biểu diễn miền nghiệm trên hệ trục Oxy, ta được:

 

Miền nghiệm là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh) , trong đó \(A(\frac{5}{2};9),B(10;9),C(10;2),D(5;4)\) Lần lượt thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào biểu thức \(F(x;y) = 4x + 3y\) ta được: \(\begin{array}{l}F(\frac{5}{2};9) = 4.\frac{5}{2} + 3.9 = 37\\F(10;9) = 4.10 + 3.9 = 67\\F(10;2) = 4.10 + 3.2 = 46\\F(5;4) = 4.5 + 3.4 = 32\end{array}\) Do đó F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 32 tại \(x = 5;y = 4\) Vậy công ty đó cần thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B.

Câu 3

Cách giải:

a) Parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\) đi qua A(2;-2) nên \( - 2 = a{.2^2} + b.2 + c \Leftrightarrow 4a + 2b + c =  - 2\) Lại có: (P) có đỉnh \(I(\frac{5}{2};\frac{{ - 9}}{4})\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{5}{2}\\a.{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + b.\left( {\frac{5}{2}} \right) + c = \frac{{ - 9}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5a + b = 0\\25a + 10b + 4c =  - 9\end{array} \right.\) Thay \(b =  - 5a\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2.( - 5a) + c =  - 2\\25a + 10.( - 5b) + 4c =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a + c =  - 2\\ - 25a + 4c =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 4\end{array} \right.\) Suy ra \(b =  - 5a =  - 5\) Vậy parabol đó là \((P):y = {x^2} - 5x + 4\) b) Parabol \((P):y = {x^2} - 5x + 4\) có \(a = 1 > 0,b =  - 5\) Bảng biến thiên

 Hàm số đồng biến trên \((\frac{5}{2}; + \infty )\) và nghịch biến trên \(( - \infty ;\frac{5}{2})\).

+ Vẽ đồ thị Đỉnh \(I(\frac{5}{2};\frac{{ - 9}}{4})\) (P) giao Oy tại điểm \(A'\left( {0;4} \right)\) (P) giao Ox tại \(B(4;0)\) và \(C(1;0)\) Điểm \(D(5;4)\) đối xứng với \(A'\left( {0;4} \right)\) qua trục đối xứng.

 

Câu 4.

Cách giải:

Hàm số \(y = 3{x^2} - 6x + 7\) có \(a = 3 > 0,b =  - 6 \Rightarrow  - \frac{b}{{2a}} = 1;\;y(1) = 4\). Ta có bảng biến thiên

Mà \(f(0) = 7,f(8) = 151,f(1) = 4\) \( \Rightarrow \) Trên [0;8]  Hàm số đạt GTLN bằng 151 tại \(x = 8\), đạt GTNN bằng 4 tại \(x = 1\).