Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là: + Dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). + Dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Để xét tính tăng giảm của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\), ta thực hiện: Bước 1: Tính \({u_{n + 1}} - {u_n}\). Bước 2: Xét: - Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng. - Nếu \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) giảm.

Ví dụ minh hoạ:

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau: a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = \frac{1}{n}\); b) \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = {n^2}\); c) \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {( - 2)^n}\); d) \(\left( {{d_n}} \right)\) với \({d_n} = \frac{n}{{n + 1}}\); e) \(\left( {{e_n}} \right)\) với \({e_n} = n - {n^2}\).

Giải:

a) \({a_{n + 1}} - {a_n} = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \frac{{n - (n + 1)}}{{n(n + 1)}} = \frac{{ - 1}}{{n + 1}} < 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{a_n}} \right)\) là dãy số giảm. b) \({b_{n + 1}} - {b_n} = {(n + 1)^2} - {n^2} = 2n + 1 > 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{b_n}} \right)\) là dãy số tăng. c) Ta có \({c_n} = {( - 2)^n} > 0\) nếu n chẵn, \({c_n} = {( - 2)^n} < 0\) nếu n lẻ. Do đó \(\left( {{c_n}} \right)\) không là dãy số tăng, không là dãy số giảm. d) \({d_{n + 1}} - {d_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 1 + 1}} - \frac{n}{{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} - \frac{n}{{n + 1}}\) \( = \frac{{{{(n + 1)}^2} - n(n + 2)}}{{(n + 1)(n + 2)}} = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}} > 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy số tăng. e) \({e_{n + 1}} - {e_n} = \left[ {(n + 1) - {{(n + 1)}^2}} \right] - \left( {n - {n^2}} \right) =  - {n^2} - n - n + {n^2} =  - 2n < 0\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(\left( {{e_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng, ta chứng minh \({u_{n + 1}} > {u_n}\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Để chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm, ta chứng minh \({u_{n + 1}} < {u_n}\) hay \({u_{n + 1}} - {u_n} < 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).