Đề bài

Cho hai điểm cố định B, C trên đường tròn \((O; R)\) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Hãy dùng phép đối xứng tâm để chứng minh rằng trực tâm H của tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định Hướng dẫn. Gọi I là trung điểm BC . Hãy vẽ đường kính AM của đường tròn rồi chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng HM

Lời giải chi tiết

Nếu BC là đường kính thì tam giác ABC vuông tại A, do đó H trùng A nằm trên (O;R) cố định.Nếu BC không là đường kính thì vẽ đường kính AM của đường tròn.Khi đó,BH // MC (vì cùng vuông góc với AC)CH // MB (vì cùng vuông góc với AB)Do đó BHCM là hình bình hành nên BC và MH cắt nhau tại trùng điểm I của mỗi đường.Hay I là trung điểm của MH.Vậy phép đối xứng qua điểm I biến M thành H.Khi A chạy trên đường tròn \((O ; R)\) thì M chạy trên đường tròn \((O ; R)\).Do đó, H nằm trên đường tròn là ảnh của đường tròn \((O ; R)\) qua phép đối xứng tâm I.

 ufa999.cc