Vecto được gọi là đồng phẳng nếu trong không gian các giá của chúng song song với cùng một mặt phẳng.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \). Để ba vecto trên đồng phẳng thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  = 0\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Cho ba vecto \(\overrightarrow a (2;5;7)\), \(\overrightarrow b (1;1; - 1)\) và \(\overrightarrow c (1;2;m)\). Tìm m để \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \) đồng phẳng.

Giải:

Để \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \) đồng phẳng thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  = 0\). Ta có \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = ( - 12;9; - 3)\); \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right].\overrightarrow c  = 0 \Leftrightarrow  - 12.1 + 9.2 - 3m = 0 \Leftrightarrow m = 2\).

2) Cho ba vecto \(\overrightarrow u (2; - 1;1)\), \(\overrightarrow v (m;3; - 1)\) và \(\overrightarrow w (1;2;1)\). Tìm m để \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow c \) đồng phẳng.

Giải:

Để \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) và \(\overrightarrow w \) đồng phẳng thì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow w  = 0\). \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = ( - 2;m + 2;m + 6)\); \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow w  = 0 \Leftrightarrow 3m + 8 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{8}{3}\).