Giả sử hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\).

Hàm số \(y = f(x)\) gọi là đồng biến (tăng) trên \(K\) nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1} < {x_2}\) thì \(f({x_1}) < f({x_2})\).

Hàm số \(y = f(x)\) gọi là nghịch biến (giảm) trên \(K\) nếu với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc K mà \({x_1} < {x_2}\) thì \(f({x_1}) > f({x_2})\).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên \(K\).

Xét sự biến thiên của hàm số🧸 là tìm các khoảng hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.

Cho hàm số y = f(x). Bước 1: Tìm tập xác định. Bước 2: Tính f’(x). Tìm nghiệm của f’(x) = 0 và các giá trị sao cho f’(x) không tồn tại. Bước 3: Tính giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } f(x)\) và tìm đường tiệm cận, điểm cực trị (nếu có). Bước 4: Tìm một số điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua. Bước 5: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.

Ví dụ minh hoạ:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y =  - {x^3} + 3x + 1\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Ta có: \(y' =  - 3{x^2} + 3,y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), \(y' < 0\) nên hàm số nghịch biến.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại \({y_{CD}} = 3\) . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} =  - 1\). Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] =  - \infty \). Giao điểm của đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 3x + 1\) với trục tung là (0;1). Các điểm (1; 3); \(\left( { - 1; - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y =  - {x^3} + 3x + 1\). Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1). Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}}.\) Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\). Giới hạn, tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} + \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{\;}} - \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1\). Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} =  - \infty \). Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có: \(y = \frac{{ - 6}}{{{{(2x + 1)}^2}}} < 0\). Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Hàm số không có cực trị. Bảng biến thiên:

Đồ thị:

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}\). Tập xác định: D = R \ {-1}. Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {\frac{{ - {{(x + 1)}^2} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left[ { - (x + 1) - \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \). Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } [ - (x + 1)] - 0 =  - \infty \)_;

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } [ - (x + 1)] - 0 = \infty \)_.

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang. \(\frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}} =  - x - 1 + \frac{{ - 1}}{{x + 1}}\) (Sử dụng phép chia đa thức). Khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 1}} = 0\) nên \(y =  - x - 1\) là tiệm cận xiên của hàm số.

Ta có: \(y' = \frac{{ - (2x + 2)(x + 1) + \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} - 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)_.

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - {x^2} - 2x \Leftrightarrow  - x(x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\)_..

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;-2) và (-1;0), đồng biến trên khoảng (-2;-1) và (-1;0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 2\), \({y_{CT}} = 2\)_.

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), \({y_{CD}} =  - 2\)_.

Đồ thị:

Tiệm cận đứng \({\rm{x}} =  - 1\), tiệm cận xiên \(y =  - x - 1\)_.

Giao điểm với trục Oy là \((0; - 2)\)._.