1) Một quần thể vi sinh 🦋vật có tốc độ tăng số lượng cá thể được ước lượng bởi \(P'\left( t \right) = 150\sqrt t \) (cá thể/ngày) với \(0 \le t \le 10\), trong đó \(P\left( t \right)\) là số lượng cá thể✱ vi sinh vật tại thời điểm \(t\) ngày kể từ thời điểm ban đầu. Biết rằng ban đầu quần thể có 1000 cá thể.

a) Xác định hàm số \(P\left( t \right)\). b) Ước lượng số cá thể của quần thể sau 5 ngày kể từ thời điểm ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Giải:

a) \(P\left( t \right) = \int {P'\left( t \right)dt} {\rm{\;}} = \int {150\sqrt t dt} {\rm{\;}} = \int {150{t^{\frac{1}{2}}}dt} {\rm{\;}} = 150.\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = 100t\sqrt t {\rm{\;}} + C\). Theo đề bài ta có \(P\left( 0 \right) = 1000 \Leftrightarrow 100.0\sqrt 0 {\rm{\;}} + C = 1000 \Leftrightarrow C = 1000\). Vậy \(P\left( t \right) = 100t\sqrt t {\rm{\;}} + 1000\). b) \(P\left( 5 \right) = 100.5\sqrt 5 {\rm{\;}} + 1000 = 500\sqrt 5 {\rm{\;}} + 1000 \approx 2100\) (cá thể).

2) Một vật 𒉰chuyển động thẳng dọc theo một đường thẳng 𝓰(có gắn trục toạ độ Ox, với độ dài đơn vị bằng 1 m). Biết rằng vật xuất phát từ vị trí ban đầu là gốc toạ độ và chuyển động với vận tốc v(t) = 8 – 0,4t (m/s) trong đó t là thời gian tính theo giây \(\left( {t \ge 0} \right)\).

a) Xác định toạ độ \(x\left( t \right)\) của vật tại thời điểm \(t,t \ge 0\). b) Tại thời điểm nào thì vật đi qua gốc toạ độ (không tính thời điểm ban đầu)?

Giải:

a) \(x\left( t \right) = \int {v\left( t \right)dt} {\rm{\;}} = \int {\left( {8 - 0,4t} \right)dt} {\rm{\;}} = 8t - 0,2{t^2} + C\). Do vật xuất phát từ vị trí ban đầu là gốc toạ độ nên \(x\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow 8.0 - 0,{2.0^2} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0\). Vậy \(x\left( t \right) = 8t - 0,2{t^2}\). b) Vật đi qua gốc toạ độ khi \(x\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 8t - 0,2{t^2} = 0 \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t = 40\). Vậy vật đi qua gốc toạ độ tại thời điểm \(t = 40\) giây (không tính thời điểm ban đầu).

3) Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên 🉐từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 - 9,8t (m/s).

Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất): a) Sau t = 3 giây. b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Giải:

a) Độ cao \(h\left( t \right)\) của viên đạn tại thời điểm \(t\) là một nguyên hàm của hàm vận tốc \(v\left( t \right)\). Ta có \(h\left( t \right) = \int {\left( {150 - 9,8t} \right)} dt = 150t - 4,9{t^2} + C\). Do \(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên nên \(h\left( 0 \right) = 0\). Suy ra \(150 \cdot 0 - 4,9 \cdot {0^2} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Leftrightarrow \)\(h\left( t \right) = 150t - 4,9{t^2}\). Độ cao của viên đạn sau 3 giây là \(h\left( 3 \right) = 150 \cdot 3 - 4,9 \cdot {3^2} = 405,9\) (m). b) Độ cao lớn nhất của viên đạn là giá trị lớn nhất của hàm số \(h\left( t \right) = 150t - 4,9{t^2}\) với \(t \ge 0\). Ta có \(h'\left( t \right) = 150 - 9,8t\) suy ra \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 150 - 9,8t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{750}}{{49}}\). Ta lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} h\left( t \right) = h\left( {\frac{{750}}{{49}}} \right) = \frac{{56250}}{{49}} \approx 1147,96\). Vậy viên đạt đạt độ cao lớn nhất khoảng $1147,96$ m  tại thời điểm \(t = \frac{{750}}{{49}}\) giây.