Đề bài

Chứng minh rằng : Trong một tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

 

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MDXét ∆ABM và ∆MCD ta có:BM = MC (M là trung điểm của BC)AM = MD (cách vẽ)Và \(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\) (hai góc đối đỉnh)Do đó: ∆ABM = ∆DCM (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {MDC}\)Mà \(\widehat {BAM}\) và\(\widehat {MDC}\) ở vị trí so le trong. Do đó AB // CD.Ta có AB // CD, \(AB \bot AC\) (∆ABC vuông tại A) \( \Rightarrow CD \bot AC \Rightarrow \widehat {ACD} = 90^\circ\)Xét ∆ACD và ∆ABC ta có: CD = AB (vì ∆DCM = ABM)\(\widehat {ACD} = \widehat {BAC}( = 90^\circ )\)AC là cạnh chungDo đó: ∆ACD = ∆CAB (c.g.c) => AD = BCMà \(AM = {1 \over 2}AD(MA = MD)\). Do đó \(AM = {1 \over 2}BC.\)

ufa999.cc