Đề bài

Tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ \(BE \bot AN\,\,\left( {E \in AN} \right)\) a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN. b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh NK // CA. c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh tam giác GBC cân.

Lời giải chi tiết

 

a) BA = BN => ∆ABN cân tại B.Mà BE là đường cao của ∆ABN (vì \(BE \bot AN\) tại E)Nên BE cũng là đường phân giác của ∆ABNVậy BE là tia phân giác của \(\widehat {ABN}.\)b) ∆ABN có hai đường cao BE và AH cắt nhau tại K (gt).=> K là trực tâm của ∆ABN=> NK là đường cao của ∆ABN\( \Rightarrow NK \bot AB\)Mà \(CA \bot AB\) (∆ABC vuông tại A)Nên NK // CA.c) Ta có: \(\widehat {NFC} = \widehat {FNK}\) (hai góc so le trong và NK // AC)\(\widehat {NFC} = \widehat {AFG}\) (đối đỉnh)\( \Rightarrow \widehat {FNK} = \widehat {AFG}\)Mà \(\widehat {FNK}\) và \(\widehat {AFG}\) ở vị trí đồng vị. Nên AH // GNLại có \(AH \bot BC\) (AH là đường cao của ∆ABC) \( \Rightarrow GN \bot BC.\)Xét ∆ABC và ∆GNB ta có \(\widehat {BAC} = \widehat {BNG}( = 90^\circ )\)AB = BN (gt)\(\widehat {ABC}\) chungDo đó: ∆ABC = ∆NBG (g.c.g) => BC = BGVậy ∆BGC cân tại B.

ufa999.cc