Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol \(y =  - {x^2} + 4x,\) biết: a) Tiếp điểm có hoành độ \({x_0} = 1\); b) Tiếp điểm có tung độ \({y_0} = 0\).

Lời giải chi tiết

Với \({x_0}\) bất kì, ta có: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right)\) \(=  - 2{x_0} + 4\). Vậy hàm số \(y =  - {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y' =  - 2x + 4\). a) Ta có: \(f'\left( 1 \right) =  - 2.1 + 4 = 2\); \(f\left( 1 \right) = 3\). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\) b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( - x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\) +) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 0 \right) = 4\). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\). +) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 4 \right) =  - 4\). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y =  - 4\left( {x - 4} \right)\) hay \(y =  - 4x + 16\).