Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại \(S\) và \((SAD) \bot (ABCD)\). a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Lời giải chi tiết

 

a) Trong (SAD) kẻ \(SE \bot AD\) Mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)\) Xét tam giác SAD vuông cân tại S có \(SE \bot AD\) \( \Rightarrow \) E là trung điểm của AD \( \Rightarrow SE = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\) Diện tích hình vuông ABCD là \({S_{ABCD}} = {a^2}\) Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}SE.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\) b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà \(AB \bot BC \Rightarrow EF \bot BC\) mà \(SE \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SEF} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\) \(\left( {SEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\) Trong (SEF) kẻ \(EG \bot SF\) \( \Rightarrow EG \bot \left( {SBC} \right)\) Ta có AD // BC nên AD // (SBC) \( \Rightarrow d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right) = EG\) Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a Xét tam giác SEF vuông tại E có \(\frac{1}{{E{G^2}}} = \frac{1}{{S{E^2}}} + \frac{1}{{E{F^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow EG = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\) Vậy \(d\left( {AD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)