Đề bài

Cho tứ diện ABCD có \(\widehat {CBD} = {90^o}\). a) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN vuông góc BC. b) Gọi G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD. Chứng minh rằng GK vuông góc với BC.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABD có: M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD \( \Rightarrow \) MN là đường trung bình của tam giác ABD  \( \Rightarrow \)  MN // BD mà BD \( \bot \) BC (\(\widehat {CBD} = {90^o}\)) \( \Rightarrow \) MN \( \bot \) BC. b) Vì G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD nên \(\frac{{CG}}{{CM}} = \frac{{CK}}{{CN}} = \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow \) GK // MN (Định lý Thalès) mà MN \( \bot \) BC \( \Rightarrow \) GK \( \bot \) BC.