Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA. Đường thẳng qua E vuông góc BE = BA. Đường thẳng qua E vuông góc với BC cắt AC ở F và cắt AB ở G. a) Chứng minh rằng tam giác AEF cân. b) Chứng minh rằng AC = GE. c) Kẻ \(AH \bot BC(H \in BC).\)  Gọi I là giao điểm của AH và BF. Chứng minh rằng tam giác AIF cân.

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác ABF vuông tại A và tam giác EBF vuông tại E có:BF là cạnh chung.BA = BE (gt)Do đó \(\Delta ABF = \Delta EBF\)  (cạnh huyền - cạnh góc vuông)=>AF = EF => tam giác AEF cân tại F.b) Xét tam giác ABC và EBG có:\(\widehat {BAC} = \widehat {BEG}( = {90^0})\)BA = BE (gt)\(\widehat {ABC}\)   là góc chung.Do đó: \(\Delta ABC = \Delta EBG(g.c.g) \Rightarrow AC = GE.\)c) Ta có: \(\eqalign{  & AH \bot BC(gt)  \cr  & EF \bot BC(gt) \cr} \)\(\Rightarrow AH = EF \Rightarrow \widehat {AIF} = \widehat {BFE}\)   (so le trong)Mà \(\widehat {AFI} = \widehat {BFE}(\Delta ABF = \Delta EBF) \Rightarrow \widehat {AIF} = \widehat {AFI}.\)Do đó: tam giác AIF cân tại A.

ufa999.cc