Đề bài

Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố thoả mãn \(P\left( A \right) = 0,5;P\left( B \right) = 0,7\) và \(P\left( {A \cup B} \right) = 0,8\). a) Tính xác suất của các biến cố \(AB,\bar AB\) và \(\bar A\bar B\). b) Hai biến cố \(A\) và \(B\) có độc lập hay không?

Lời giải chi tiết

a)  * Tính \(P\left( {AB} \right)\): Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\) \( \Leftrightarrow 0,8 = 0,5 + 0,7 - P\left( {AB} \right)\) \( \Leftrightarrow P\left( {AB} \right) = 0,4\). * Tính \(P\left( {\bar AB} \right)\): Ta có \(B = AB \cup \overline A B\) và \(AB \cap \overline A B = \emptyset \) nên: \(P\left( B \right) = P\left( {AB} \right) + P\left( {\bar AB} \right)\) \( \Leftrightarrow P\left( {\bar AB} \right) = P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,7 - 0,4 = 0,3\). * Tính \(P\left( {\bar A\bar B} \right)\): Ta có \(A \cup B\) và \(\bar A\bar B\) là hai biến cố đối nên: \(P\left( {\bar A\bar B} \right) + P\left( {A \cup B} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow P\left( {\bar A\bar B} \right) = 1 - P\left( {A \cup B} \right) = 1 - 0,8 = 0,2\). b) Ta có \(P\left( {AB} \right) = 0,4\); \(P\left( A \right).P\left( B \right) = 0,5.0,7 = 0,35\). Vì \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\) nên hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập.