Đề bài

Cho hình hộp đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bên \(AA' = 2a\) và đáy \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = a\) và \(AC = a\sqrt 3 \). a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B{\rm{D}}\) và \(AA'\). b) Tính thể tích của khối hộp.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\). ABCD là hình thoi \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}} \Rightarrow AO \bot B{\rm{D}}\). \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AO\). \( \Rightarrow d\left( {B{\rm{D}},AA'} \right) = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). b) Tam giác OAB vuông tại O \( \Rightarrow BO = \sqrt {A{B^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} {\rm{\;}} = \frac{a}{2}\). Suy ra \(BD = 2BO = a\). \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\). \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.2a = {a^3}\sqrt 3 \).