Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(AA' = 2a,AD = 2a,AB = BC = a\). a) Tính độ dài đoạn thẳng \(AC'\). b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.

Lời giải chi tiết

  a) \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2 \) \(CC' = AA' = 2a\) \(CC' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow CC' \bot AC\) \( \Rightarrow \Delta ACC'\) vuông tại \(C \Rightarrow AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}}  = a\sqrt 6 \) b) \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A'B'C'C'}} = \frac{1}{2}\left( {A{\rm{D}} + BC} \right).AB = \frac{{3{a^2}}}{2}\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AD\) \( \Rightarrow ABCM\) là hình vuông\( \Rightarrow MC = M{\rm{D}} = MA = \frac{1}{2}A{\rm{D}} = a\) \(\Delta MC{\rm{D}}\) vuông cân tại \(M \Rightarrow C{\rm{D}} = \sqrt {C{M^2} + D{M^2}}  = a\sqrt 2 \) \(\begin{array}{l}{S_{ABB'A'}} = AB.AA' = 2{a^2}\\{S_{ADD'A'}} = AD.AA' = 4{a^2}\\{S_{BCC'B'}} = BC.CC' = 2{a^2}\\{S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}} = C{\rm{D}}.CC' = 2{a^2}\sqrt 2 \end{array}\) Tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ là: \(\begin{array}{l}S = {S_{ABC{\rm{D}}}} + {S_{A'B'C'C'}} + {S_{ABB'A'}} + {S_{ADD'A'}} + {S_{BCC'B'}} + {S_{C{\rm{DD}}'{\rm{C}}'}}\\ &  = \frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{3{a^2}}}{2} + 2{a^2} + 4{a^2} + 2{a^2} + 2{a^2}\sqrt 2  = \left( {11 + 2\sqrt 2 } \right){a^2}\end{array}\)