Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 2 \), có các cạnh bên đều bằng \(2a\). a) Tính góc giữa \(SC\) và \(AB\). b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có: \(AB\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow \left( {SC,AB} \right) = \left( {SC,C{\rm{D}}} \right) = \widehat {SC{\rm{D}}}\) Xét \(\Delta SCD\) có: \(\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{{\rm{D}}^2} - S{{\rm{D}}^2}}}{{2.SC.C{\rm{D}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \widehat {SCD} \approx {69^ \circ }18'\) Vậy \(\left( {SC,AB} \right) \approx {69^ \circ }18'\). b) Gọi \(O = AC \cap B{\rm{D}}\). \(\Delta SAC\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot AC\) \(\Delta SB{\rm{D}}\) cân tại \(S \Rightarrow SO \bot B{\rm{D}}\) \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow O\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Lại có \(A,B \in \left( {ABCD} \right)\). Vậy tam giác \(OAB\) là hình chiếu vuông góc của tam giác \(SAB\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = 2a\)

Mà ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của mỗi đường chéo.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow AO = BO = \frac{{AC}}{2} = a\\ \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}AO.BO = \frac{1}{2}a.a = \frac{1}{2}{a^2}\end{array}\)

Vậy diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD) là \(\frac{1}{2}{a^2}\)