Đề bài

Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n), biết:

a) \({u_n} =  - 4 - \frac{1}{n};\) b) \({u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}};\) c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}n!.\)

Lời giải chi tiết

a) \(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} =  - 4 - \frac{1}{{n + 1}} - \left( { - 4 - \frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}} > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}\)Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.b)\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n - 5}}{{n + 2}} = 1 - \frac{7}{{n + 2}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - \frac{7}{{n + 3}} - \left( {1 - \frac{7}{{n + 2}}} \right) = \frac{7}{{n + 2}} - \frac{7}{{n + 3}} = 7\left( {\frac{1}{{n + 2}} - \frac{1}{{n + 3}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n\end{array}\)Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.c)\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right)n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n!}} =  - \left( {n + 1} \right)<0\)Do đó, \( - \left( {n + 1} \right)  < 1\)\( \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n\)Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.