Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ \(Bx \bot AB\) và \(Cy \bot AC.\)  Gọi M là giao điểm của Bx và Cy. a) Chứng minh rằng \(\Delta ABM = \Delta ACM.\) b) Chứng minh rằng \(AM \bot BC.\) c) Kẻ \(BN \bot C(N \in AC),\)   gọi I là giao điểm của BN với AM. Chứng minh rằng tam giác BIM cân. d) Chứng minh rằng \(CI \bot AB.\)

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác ABM vuông tại B và tam giác ACM vuông tại C có:AB = AC (tam giác ABC cân tại A)AM là cạnh chung.Do đó: \(\Delta ABM = \Delta ACM\)  (cạnh huyền - góc nhọn).b) Xét tam giác BEM và CEM có:EM là cạnh chung.\(\eqalign{  & \widehat {EMB} = \widehat {EMC}(\Delta ABM = \Delta ACM)  \cr  & BM = CM(\Delta ABM = \Delta ACM) \cr} \)Do đó: \(\Delta BEM = \Delta CEM(c.g.c) \Rightarrow \widehat {BEM} = \widehat {CEM}\)Mà \(\widehat {BEM} + \widehat {CEM} = {180^0}\)   (hai góc kề bù).Nên \(\widehat {BEM} + \widehat {BEM} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {BEM} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BEM} = {90^0}\)Vậy \(AM \bot BC.\)c) Ta có: \(BN \bot AC(gt);MC \bot AC(gt)\)\(\Rightarrow BN//MC \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {IMC}\)   (hai góc so le trong).Mà \(\widehat {IMC} = \widehat {BMI}(\Delta ABM = \Delta ACM) \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {BMI}.\)Do đó: Tam giác BIM cân tại B.d) Xét tam giác BIM và CIM ta có:BM = CM \((\Delta ABM = \Delta ACM)\)IM là cạnh chung.\(\widehat {BMI} = \widehat {CMI}(\Delta ABM = \Delta ACM)\) Do đó: \(\Delta BIM = \Delta CIM(c.g.c) \Rightarrow \widehat {BIM} = \widehat {CIM}.\)Mà \(\widehat {BIM} = \widehat {BMI}\)   (chứng minh trên). Do đó: \(\widehat {CIM} = \widehat {BMI}.\)Mà hai góc CIM và BMI so le trong. Do đó CI // MB.Mà \(MB \bot AB(gt) \Rightarrow CI \bot AB.\)

ufa999.cc