Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SC\) và \(SD\). Tính khoảng cách giữa \(AM\) và \(NP\).

Lời giải chi tiết

\(M\) là trung điểm của \(SB\)\(N\) là trung điểm của \(SC\)\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta SBC\)\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow MN\parallel BC\\BC \bot C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot C{\rm{D}}\)Mà \(C{\rm{D}}\parallel NP\) \( \Rightarrow MN \bot NP\) (1)\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)Mà \(MN\parallel BC\)\( \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot AM\)(2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow d\left( {AM,NP} \right) = MN = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}\).