Đề bài

a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 3 không ? b) Chứng tỏ rằng tích hai số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 2. c) Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau đều là bội của 37. d) Chứng tỏ rằng tổng \(\overline {ab}  + \overline {ba} \) chia hết cho 11.

Lời giải chi tiết

a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: \(n; n + 1; n + 2 (n \in N\))Ta có: n + n + 1 + n + 2 = 3n + 33n ⁝ 3, 3 ⁝ 3 \(\Rightarrow\) (3n + 3) ⁝ 3Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3b) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là n; n + 1 \((n \in N\))Nếu n = 2k (\(k \in N\)) thì n ⁝ 2 do đó \(n(n + 1) ⁝ 2\)Nếu n = 2k + 1 (\(k \in N\)) thì \(n + 1 = (2k + 2) ⁝ 2\) do đó n(n + 1) ⁝ 2Ta có n(n + 1) ⁝ 2. Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2c) Gọi số tự nhiên có ba chữ số giống nhau là \(\overline {aaa} (a \in N^*)\)\(\overline {aaa}  = 111.a\) mà 111 ⁝ 37 nên (111.a) ⁝ 37. Do đó: \(\overline {aaa}  \vdots 37\)d) \(\overline {ab}  + \overline {ba}  = 10a + b + 10b + a = (11a + 11b) \;\vdots\; 11\)Vì (11a) ⁝ 11 và (11b) ⁝ 11 nên \((11a + 11b) ⁝ 11.\) Do đó: \((\overline {ab}  + \overline {ba} )\; \vdots\; 11\)

ufa999.cc