1.Tính diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)

Nếu hàm số \(y = f(x)\) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}  = \left| {\int\limits_a^b {f(x)dx} } \right|\).Đặc biệt, nếu phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm trên khoảng (a;b) thì công thức trên vẫn đúng.Nếu phương trình \(f(x) = 0\) chỉ có một nghiệm c trên khoảng (a;b) thì \(S = \left| {\int\limits_a^c {f(x)dx} } \right| + \left| {\int\limits_c^b {f(x)dx} } \right|\).

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f(x) = {x^2}𓃲 - 4x + 3\), trục hoà𝐆nh và hai đường thẳng x = 0, x = 3.

Giải: Diện tích cần tìm là 🔯\(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx} \).

Ta có: \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = 3.Với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì \(f(x) \ge 0\). Với \(x \in \left[ {1;3} \right]\) thì \(f(x) \le 0\).Vậy \(S = \int\limits_0^3 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right)dx}  + \int\limits_1^3 {\left[ { - \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)} \right]dx} \)\( = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right. - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + 3x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\1\end{array}} \right. = \frac{8}{3}\).

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \)

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(y = {x^2}\), \(y = 2 - x\) và hai đường thẳng x = 0, 📖x = 2.

Giải: Diện tích cần tìm là \(\int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - (2 - x)} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|dx}𒀰 \).

Ta có \({x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \) x = 1 hoặc x = -2.Vậy \(S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|dx}  + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|dx}  = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x - 2} \right)dx} } \right|\)\( = \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1\\0\end{array}} \right.} \right| + \left| {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\1\end{array}} \right.} \right| = \left| { - \frac{7}{6}} \right| + \left| {\frac{{11}}{6}} \right| = 3\).

2. Tính thể tích của hình khối

Cho một vật thể trong không gian giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x \((a \le x \le b)\) cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x), với S(x) là hàm số liên tục. Thể tích của vật thể được tính bằng công thức \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \)

Ví dụ: Cho khối lăng trụ tam giác có d🤪iện tích đáy S và chiều cao h. Sử dụng tích phân, tính thể tích của khối lăng trụ theo S và h.

Giải: Chọn trục Ox song 🌞song với đường cao của khối lăng trụ sao cho hai đáy nằm trong hai mặt phẳ꧑ng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h.

Mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \((0 \le x \le h)\) cắt lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi S(x) = S. Do đó, thể tích khối lăng trụ là \(V = \int\limits_0^h {S(x)dx}  = \int\limits_0^h {Sdx}  = Sx\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = Sh\).

3. Thể tích khối tròn xoay

Cho \(y = f(x)\) là hàm số liên tục và không âm trên đoạn [a;b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.Quay D quanh trục Ox ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay.Cắt khối tròn xoay trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với \(x \in [a;b]\), ta được mặt cắt là hình tròn có bán kính bằng \(f(x)\) và diện tích là \(S(x) = \pi {f^2}(x)\).

Cho hình phẳng D được giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn [a;b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, y = b. Quay D quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bằng công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)\(\)