1. Phương trình tích có dạng \(\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = 0\left( {a \ne 0,c \ne 0} \right)\)

Cách giải phương trình tích

Để giải phương trình tích \(\left( {ax + b} \right)\left( {cx + d} \right) = 0\) với \(a \ne 0\) và \(c \ne 0\), ta có thể làm như sau: Bước 1. Giải hai phươn𝓀g trꦛình bậc nhất: \(ax + b = 0\) và \(cx + d = 0\) Bước 2. Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình bậc nhất vừa giải được ở Bước 1.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(\𒁏left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) ♑= 0\)

Lời giải:

Để giải phương trình  \(\left( {2x + 1} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\), ta giải hai phương trình sau:*) \(2x + 1 = 0\)\(2x =  - 1\)\(x =  - \frac{1}{2}\).*) \(3x - 1 = 0\)\(3x = 1\)\(x = \frac{1}{3}\).Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x =  - \frac{1}{2}\) và \(x = \frac{1}{3}\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \({x^2} - x =  - 2x + 2\).

Lời giải:

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:\(\begin{array}{l}{x^2} - x =  - 2x + 2\\{x^2} - x + 2x - 2 = 0\\x\left( {x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = 0\\\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0.\end{array}\)Ta giải hai phương trình sau:*) \(x + 2 = 0\)\(x =  - 2\).*) \(x - 1 = 0\)\(x = 1\).Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x =  - 2\) và \(x = 1\).

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu

Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 được gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Ví dụ:

- Phương trình \(\frac{{5x + 2}}{{x - 1}} = 0\) có điều kiện xác định là \(x - 1 \ne 0\) hay \(x \ne 1\).- Phương trình \(\frac{1}{{x + 1}} = 1 + \frac{1}{{x - 2}}\) có điều kiện xác định là \(x + 1 \ne 0\) và \(x - 2 \ne 0\) hay \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 2\).

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình. Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phươꦇng🐬 trình rồi khử mẫu. Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được. Bước 4. Kết luận nghiệm: Trong các giá trị tìm được ở Bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm🅺 của phương tr🍒ình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình \(\frac{2}{{x + 1}} + 🎀\frac{1}{{x - 2}}♏ = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Lời giải:

Điều kiện xác định \(x \ne  - 1\) và \(x \ne 2\).\(\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)\(\frac{{2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)\(2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3\).\(\begin{array}{l}2\left( {x - 2} \right) + \left( {x + 1} \right) = 3\\2x - 4 + x + 1 = 3\\3x - 3 = 3\\3x = 6\\x = 2\end{array}\)Ta thấy \(x = 2\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.Vậy phương trình \(\frac{2}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{3}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\) vô nghiệm.