I. Nhân hai số nguyên

1.Nhân hai số nguyên khác dấu

Nhận xét: Tích của hai số nguyên khác dấu là số nguyên â🐽m.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương \(a\) và \(b\), ta có:\(\left( { + a} \right).\left( { - b} \right) = - a.b\)\(\left( { - a} \right).\left( { + b} \right) = - a.b\)

Ví dụ:

a) \(( - 20).5 = - \left( {20.5} \right) = - 100.\)b) \(15.\left( { - 10} \right) = - \left( {15.10} \right) = - 150.\)c) \(20.\left( { + 50} \right) + 4.\left( { - {\rm{ }}40} \right) = 1000 - (4.40) = 1000 - 160 = 840. \)

2.Nhân hai số nguyên cùng dấu

Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau:

Nhận xét:

- Khi nhân hai số nguyên dương, ta nhân chúng như nhân hai số tự nhiên.- Tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương.

Chú ý:

Cho hai số nguyên dương \(a\) và \(b\), ta có:\(\left( { - a} \right).\left( { - b} \right) = ( + a).( + a) = a.b\)\(\left( { - a} \right).\left( { + b} \right) = - a.b\)

Ví dụ:

a) \(( - 4).( - 15) = 4.15 = 60\)b) \(\left( { + 2} \right).( + 5) = 2.5 = 10\).

II. Tính chất của phép nhân các số nguyên

Nhận xét:

Trong một tích nhiều thừa số ta có thể:- Đổi chỗ hai thừa số tùy ý.- Dùng dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý:

Chú ý:

+) \(a.1 = 1.a = a\)+) \(a.0 = 0.a = 0\)+) Cho hai số nguyên \(x,\,\,y\):Nếu \(x.y = 0\) thì \(x = 0\) hoặc \(y = 0\).

Ví dụ 1:

a) \(\left( { - 3} \right).5 = 5.\left( { - 3} \right) = - 15\)b) \(\left[ {\left( { - 2} \right).7} \right].\left( { - 3} \right) = \left( { - 2} \right).\left[ {7.\left( { - 3} \right)} \right] = \left( { - 2} \right).\left( { - 21} \right) = 42\)c) \(\left( { - 5} \right).12 + \left( { - 5} \right).88 = \left( { - 5} \right).\left( {12 + 88} \right) = \left( { - 5} \right).100 = - 500\).d) \(\left( { - 9} \right).36 - ( - 9).26 = \left( { - 9} \right).\left( {36 - 26} \right) = \left( { - 9} \right).10 = - 90\)

Ví dụ 2:

Nếu \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\) thì \(x - 1 = 0\) hoặc \(x + 5 = 0\).Suy ra \(x = 1\) hoặc \(x = - 5\).

III. Quan hệ chia hết và phép chia hết trong tập hợp số nguyên

1.Phép chia hết

Ví dụ:

\(( - 15) = 3.( - 5)\) nên ta nói:+) \( - 15\) chia hết cho \(( - 5)\)+) \( - 15:( - 5) = 3\)+) \(3\) là thương của phép chia \( - 15\) cho \( - 5\).

2.Phép chia hai số nguyên khác dấu

Ví dụ:

1. a) \(( - 27):3 = - \left( {27:3} \right) = - 9\).
2. b) \(36:\left( { - 9} \right) = - \left( {36:9} \right) = - 4\)

3. Phép chia hết hai số nguyên cùng dấu

Nhận xét: Phép chia h💞ai số nguyên dương chính là phé♊p chia hai số tự nhiên.

Chú ý:

Cách nhận biết dấu của thương:\(\begin{array}{l}\left( + \right):\left( + \right) = \left( + \right)\\\left( - \right):\left( - \right) = \left( + \right)\\\left( - \right):\left( + \right) = \left( - \right)\\\left( + \right):\left( - \right) = \left( - \right)\end{array}\)

Ví dụ:

1. a) \(( - 36):( - 4) = 36:4 = 9\)
2. b) \(\left( { - 35} \right):( - 7) = 35:7 = 5\).

IV. Bội và ước của một số nguyên

Nhận xét:

- Nếu \(a\) là bội của \(b\) thì \( - a\) cũng là bội của \(b\).- Nếu \(b\) là ước của \(a\) thì \( - b\) cũng là ước của \(a\).

Chú ý: Khi \(c\) vừa là ước của \(a\), vừa là ưᩚᩚᩚᩚᩚᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ⁤⁤⁤⁤ᩚ𒀱ᩚᩚᩚớc của \(b\) thì \(c\) được gọi 🗹là ước chung của \(a\) và \(b\).

Kí hiệu ước chung của hai số nguyên \(a,\,b\) là ƯC(a, b).

Ví dụ 1:

a) \(5\) là một ước của \( - 30\) vì \(\left( { - 30} \right) \vdots 5\).b) \( - 42\) là một bội của \( - 7\) vì \(\left( { - 42} \right) \vdots \left( { - 7} \right)\).

Ví dụ 2:

a) Các ước của 4 là: \(1;\, - 1;\,2;\, - 2;\,4;\, - 4\).b) Các bội của 8 là: \(0;\,8;\, - 8;\,16;\, - 16;...\)

Ví dụ 3:

Ta thấy \(1;\, - 1;\,2;\, - 2\) vừa là ước của \(6\), vừa là ước của \(4\) nên chúng gọi là ước chung của \(6\) và \(4\).Khi đó ta viết: ƯC(6; 4)={1;-1;2;-2}.