A. Lý thuyết

1. Phương trình đường thẳng

a) Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến của đường thẳng

Vecto \(\overrightarrow u \) được gọi là vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow u \) song song hoặc trùng với \(\Delta \). Vecto \(\overrightarrow n \) được gọi là vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) và giá của vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\Delta \).

 

Chú ý:

- Nếu đường thẳng \(\Delta \) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (a;b)\) thì \(\Delta \) sẽ nhận \(\overrightarrow u  = (b; - a)\) hoặc \(\overrightarrow u  = ( - b;a)\) là một vecto chỉ phương.- Nếu \(\overrightarrow u \) là một vecto chỉ phương của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow u \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto chỉ phương của \(\Delta \).- Nếu \(\overrightarrow n \) là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \) thì \(k\overrightarrow n \) \((k \ne 0)\) cũng là một vecto pháp tuyến của \(\Delta \).

b) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, ta gọi \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + t{u_1}\\y = {y_0} + t{u_2}\end{array} \right.\) (với \({u_1}^2 + {u_2}^2 > 0,t \in \mathbb{R}\)) là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và nhận \(\overrightarrow u  = ({u_1};{u_2})\) làm vecto chỉ phương.

Chú ý: Với mỗi giá trị cụ thể của t,ꦬ ta xác định được một điểm trên đường thẳng \(\Delta \) và ngược lại♌.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, mỗi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng \(ax + by + c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0).

Nhận xét:

- Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({M_0}({x_0};{y_0})\) và nhận \(\overrightarrow n  = (a;b)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0 \Leftrightarrow ax + by + ( - a{x_0} - b{y_0}) = 0\).- Mỗi phương trình \(ax + by + c = 0\) (a và b không đồng thời bằng 0)  đều xác định một đường thẳng \(\Delta \) trong mặt phẳng tọa độ nhận một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (a;b)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A({x_A};{y_A})\), \(B({x_B};{y_B})\) có dạng \(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}}\) (với \({x_B} - {x_A} \ne 0\) và \({y_B} - {y_A} \ne 0\)). Đường thẳng \(\Delta \) cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A(a;0) và B(0;b) có phương trình đoạn chắn là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) \((ab \ne 0)\).

d) Liên hệ giữa đồ thị hàm số bậc nhất và đường thẳng

- Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tổng quát \(ax + by + c = 0\) (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi \(a \ne 0\) và \(b \ne 0\). Khi đó, ta có thể viết\(ax + by + c = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{a}{b}x - \frac{c}{b} \Leftrightarrow y = kx + {y_0}\).- Phương trình trục hoành là y = 0, phương trình trục tung là x = 0.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) \(({a_1}^2 + {b_1}^2 > 0)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \) và đường thẳng \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) \(({a_2}^2 + {b_2}^2 > 0)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} \).

Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau. Lấy một điểm P tùy ý trên \({\Delta _1}\). + Nếu \(P \in {\Delta _2}\) thì \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\). + Nếu \(P \notin {\Delta _2}\) thì \({\Delta _1}//{\Delta _2}\). Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tại một điểm \(M({x_0};{y_0})\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\).

Chú ý:

a) Nếu \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0\) thì \(\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}} \), suy ra \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).b) Để xét hai vecto \(\overrightarrow {{n_1}}  = ({a_1};{b_1})\) và \(\overrightarrow {{n_2}}  = ({a_2};{b_2})\) cùng phương hay không, ta xét biểu thức \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}\):+ Nếu \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} = 0\) thì hai vecto cùng phương.+ Nếu \({a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0\) thì hai vecto không cùng phương.Trong trường hợp tất cả các hệ số \({a_1},{a_2},{b_1},{b_2}\) đều khác 0, ta có thể xét hai trường hợp:+ Nếu \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\) thì hai vecto cùng phương.+ Nếu \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\) thì hai vecto không cùng phương.

3. Góc giữa hai đường thẳng

a) Khái niệm góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau tạo thành bốn góc: - Nếu hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). - Nếu hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \({90^o}\).

Quy ước:

+ Khi \({\Delta _1}\) song song hoặc trù📖ng với \({\Delta _2}\), ta nói góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) vàౠ \({\Delta _2}\) bằng \({0^o}\).

+ Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng \({90^o}\), tức là \(({\Delta _1},{\Delta _2}) \le {90^o}\).+ Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) được kí hiệu là \((\widehat {{\Delta _1},{\Delta _2}})\) hoặc \(({\Delta _1},{\Delta _2})\).

b) Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vecto pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}}  = ({a_1};{b_1})\), \(\overrightarrow {{n_2}}  = ({a_2};{b_2})\). Ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\).

Nhận xét: Nếu \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \),🐎 \(\overrightarrow {{u_2}} \) thì \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} )} \right|\).

Chú ý:

+ Nếu \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) lần lượt có phương trình \({a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) thì \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {90^o} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\).+ Nếu \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) lần lượt có phương trình \(y = {k_1}x + {m_1}\) và \(y = {k_2}x + {m_2}\) thì ta có \(\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {90^o} \Leftrightarrow {k_1}{k_2} =  - 1\).Nói cách khác, hai đường thẳng có tích các hệ số góc bằng -1 thì vuông góc với nhau.

4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(ax + by + c = 0\) \(({a^2} + {b^2} > 0)\) và điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \), kí hiệu là \(d(M,\Delta )\), được tính bởi công thức sau:

\(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

 

B. Bài tập

Bài 1:

a) Cho đường thẳng \(\Delta \) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\). Tìm vecto chỉ phương của \(\Delta \).b) Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (1;3)\). Tìm hai vecto pháp tuyến của d.

Giải:

a) \(\Delta \) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{5}{2}} \right)\), suy ra \(\Delta \) cũng có vecto pháp tuyến \(2\overrightarrow n  = \left( {1; - 5} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = (5;1)\).b) Hai vecto pháp tuyến của d là \(\overrightarrow n  = (3; - 1)\),  \( - \overrightarrow n  = ( - 3;1)\).

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng \(\Delta \) ཧthỏa mãn:

a) Đi qua M(-2;-3) và có \(\overrightarrow n  = (2;5)\) là vecto pháp tuyến.b) Đi qua M(3;-5) và có \(\overrightarrow u  = (2; - 4)\) là vecto chỉ phương.c) Đi qua A(-3;4) và B(1;-1).

Giải:

a) Phương trình \(\Delta \) là \(2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + 19 = 0\).b) Phương trình \(\Delta \) là \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 5}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).c) Phương trình \(\Delta \) là \(\frac{{x + 3}}{{1 - ( - 3)}} = \frac{{y - 4}}{{ - 1 - 4}} \Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y - 4}}{{ - 5}} \Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0\).

Bài 3: Viết phương trình tổng quát củ🍒a các đường thẳng là đồ thị hàm số bậc nhất sau:

a) \({d_1}:y = 2x + 3\)b) \({d_2}:y =  - \frac{1}{2}x + 5\)c) \({d_3}:y = x\)

Giải:

a) Ta có \(y = 2x + 3 \Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0\).Vậy phương trình tổng quát của \({d_1}\) là \(2x - y + 3 = 0\).b) Ta có \(y =  - \frac{1}{2}x + 5 \Leftrightarrow x + 2y - 10 = 0\).Vậy phương trình tổng quát của \({d_2}\) là \(x + 2y - 10 = 0\).c) Ta có \(y = x \Leftrightarrow x - y = 0\).Vậy phương trình tổng quát của \({d_3}\) là \(x - y = 0\).

Bài 4: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) \({\Delta _1}:2x - y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 2y + 2 = 0\).b) \({\Delta _3}:x - y - 1 = 0\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Giải:

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 2; - 1)\).Do \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{2}{{ - 1}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương, suy ra \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).b) Đường thẳng \({\Delta _3}\), \({\Delta _4}\) lần lượt có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_3}}  = (1;1)\) và \(\overrightarrow {{u_4}}  = (2;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_4}}  = 2\overrightarrow {{u_3}} \). Chọn t = 0, ta có điểm \(M(1;3) \in {\Delta _4}\). Do \(1 - 3 - 1 \ne 0\) nên \(M(1;3) \notin {\Delta _3}\).Vậy \({\Delta _3}\) // \({\Delta _4}\).

Bài 5: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

\({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x - 4y + 2 = 0\).

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\2x - 4y + 2 = 0\end{array} \right.\).Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 6: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Del🃏ta _1}\) và 🔜\({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_1}\\y = 1 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 - {t_2}\end{array} \right.\).b) \({\Delta _1}:3x + y - 10 = 0\) và \({\Delta _2}: - 2x + y - 7 = 0\).

Giải:

a) \({\Delta _1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\). \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\).Do đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3  + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).Vậy \(({\Delta _1},{\Delta _2}) = {60^o}\).b) \({\Delta _1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right)\). \({\Delta _2}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 2;1} \right)\).Do đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.( - 2) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).Vậy \(({\Delta _1},{\Delta _2}) = {45^o}\).

Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường𒁏 hợp💙 sau:

a) M(-2;1) và \(\Delta :2x - 3y + 5 = 0\).b) M(1;-3) và \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\).

Giải:

a) Ta có: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {2.( - 2) - 3.1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4;3)\).Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(4(x + 2) + 3(y - 2) = 0\). Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(4x + 3y + 2 = 0\).Vậy \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {4.1 + 3.( - 3) + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{5}\).