1. Nhắc lại thứ tự trong tập hợp số thực

Trong hai số khác nhau luôn có số này nhỏ hơn số kia.- Nếu số thực a nhỏ hơn số thực b thì ta viết \(a < b\) hay \(b > a\).- Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương.- Số thực nhỏ hơn 0 gọi là số thực âm.Ta có các kết quả:- Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì \(a < b\) hay \(b > a\).

- Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.- Với hai số thực a, b, ta có:\(ab > 0\) thì a, b cùng dương hoặc cùng âm (hay a, b cùng dấu) và ngược lại:\(ab < 0\) thì a, b trái dấu và ngược lại.- Với a, b là hai số thực dương, nếu \(a > b\) thì \(\sqrt a  > \sqrt b \).

2. Bất đẳng thức

Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng \(a > b\) (hay \(a < b\), \(a \ge b\), \(a \le b\)) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

Hai bất đẳng thức \(a < b\) và \(c < d\) (hay \(a > b\) và \(c > d\)) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức \(a < b\) và \(c > d\) (hay \(a > b\) và \(c < d\)) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất của bất đẳng thức

Với hai số thực a và b, ta có: - Nếu \(a > b\) thì \(a - b > 0\). Ngược lại, nếu \(a - b > 0\) thì \(a > b\). - Nếu \(a < b\) thì \(a - b < 0\). Ngược lại, nếu \(a - b < 0\) thì \(a < b\). - Nếu \(a \ge b\) thì \(a - b \ge 0\). Ngược lại, nếu \(a - b \ge 0\) thì \(a \ge b\). - Nếu \(a \le b\) thì \(a - b \le 0\). Ngược lại, nếu \(a - b \le 0\) thì \(a \le b\).

Nhận xét:🌊 Do khẳng định nêu trên, để chứng minh \(a > b\), ta có thể chứng minh \(a - b > 0\) hoặc chứng minh \(b - a < 0\).

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu \(a < b\) thì \(a + c < b + c\). Nếu \(a > b\) thì \(a + c > b + c\). Nếu \(a \le b\) thì \(a + c \le b + c\). Nếu \(a \ge b\) thì \(a + c \ge b + c\).

Ví dụ: ⛎Vì \(2023 < 2024\) nên \(2023 + \left( { - 19} \right) < 2024 + \left( { - 19} \right)\)

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có: - Nếu \(a < b\) thì \(ac < bc\). - Nếu \(a > b\) thì \(ac > bc\). - Nếu \(a \le b\) thì \(ac \le bc\). - Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \ge bc\).

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c < 0, ta có: Nếu \(a < b\) thì \(ac > bc\). Nếu \(a > b\) thì \(ac < bc\). Nếu \(a \le b\) thì \(ac \ge bc\). Nếu \(a \ge b\) thì \(ac \le bc\).

Ví dụ:

Vì \( - 7 <  - 5\) và \(3 > 0\) nên \(3.\left( { - 7} \right) < 3.\left( { - 5} \right)\).Vì \( - 7 <  - 5\) và \( - 3 < 0\) nên \(\left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) > \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right)\).

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức

Nếu \(a > b\) và \(b > c\) thì \(a > c\).

Ví dụ: Vì \(\frac{{2024}}{{2023}} = 1 + \frac{1}{{2023}} > 1\) và \(\frac{{2021}}{{2022}} = 1 - \frac{1}{{2022}} < 1\) nên \(\frac{{2024}}{{2023}} > \frac{{2021}}{{2022}}\).