HĐ 2

Quan sát ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC (Hình 137)🧸, cho biết ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Phương pháp giải:

Quan sát Hình 137 để xem ba đường cao AM, BN, CP có cùng đi qua một điểm hay không.

Lời giải chi tiết:

Ba đường cao AM, BN, CP có cùng đi qua một điểm là điểm H.

LT - VD 2

Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

Chứng minh G là trực tâm của tam giác ABC bằng cách chứng minh G là giao điểm của ba đường cao của tam giác ABC.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF là các đường trung tuyến trong tam giác.

Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD.

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

     AB = AC (tam giác ABC đều);

     AD chung

     BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Mà ba điểm B, D, C 🦋thẳng hàng nên \(\widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ \)hay \(AD \bot BC\). (1)

Từ (1), (2), (3) suy ra G là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF.

Vậy G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

LT - VD 3

Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Giả sử tam giác ABC có H vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm tam giác ABC. Ta phải chứng minh tam giác ABC đều.

Vì H là trọng tâm tam giác ABC nên AD, BE, CF vừa ⭕là các đường cao, vừa là các đường trung tuyến trong tam giác.

Suy ra: AF = BF = AE = CE = BD = CD;

\(AD \bot BC; BE \bot AC; CF \bot AB\)

Xét tam giác ADB và tam giác ADC có:

     AD chung

     BD = CD (D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác thì tam giác ABC đều.