KP2

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 21 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{x}\) có đồ thị như Hình 4.

a) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  = \frac{{x + 1}}{x}\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  = \frac{{x + 1}}{x}\). b) Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M và cắt đường thẳng y = 1 tại điểm N (Hình 4). Tính MN theo x và nhận xét về MN khi \(x \to  + \infty \) hoặc \(x \to  - \infty \).

Phương pháp giải:

Quan sát đồ thị.

Lời giải chi tiết:

a) Từ đồ thị ta thấy: Khi \(x \to  + \infty \) thì y tiến dần đến \(1\), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  = \frac{{x + 1}}{x} = 1\). Khi \(x \to  - \infty \) thì y tiến dần đến \(1\), vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  = \frac{{x + 1}}{x} = 1\). b) MN = y – 1 = \(\frac{{x + 1}}{x} - 1 = \frac{1}{x}\). Khi \(x \to  + \infty \) hoặc \(x \to  - \infty \) thì MN tiến dần về 0.

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 21 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau: a) \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{4x + 1}}\). b) \(g(x) = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\).

Phương pháp giải:

Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = m\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = m\).

Lời giải chi tiết:

a) Xét \(f(x) = \frac{{x - 1}}{{4x + 1}}\). Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{4}} \right\}\). Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 1}}{{4x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - \frac{1}{x}}}{{4 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{4}\). Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{4}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. b) Xét \(g(x) = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\). Tập xác định: \(D = [0; + \infty )\). Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{{\sqrt x }}}} = 1\). Vậy đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.