HĐ Khám phá 2

Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:

Tổ 1	3	1	2	1	2	2	3	25	1
Tổ 2	4	5	4	3	3	4	5	4

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó? b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.

Lời giải chi tiết:

a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc: \(\frac{{3 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3 + 25 + 1}}{9} \approx 4,44\) (quyển sách) Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc: \(\frac{{4 + 5 + 4 + 3 + 3 + 4 + 5 + 4}}{8} = 4\) (quyển sách) b) Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 1 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25 Vì cỡ mẫu bằng 9 nên trung vị của Tổ 1 là số liệu thứ 5 của dãy trên, tức là \({M_e} = 2.\) Sắp xếp số sách mối bạn Tổ 2 đã đọc theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5. Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của Tổ 2 là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là \({M_e} = \frac{1}{2}(4 + 4) = 4.\) Vậy nếu so sánh theo trung vị thì các bạn Tổ 2 đọc nhiều sách ở thư viện hơn các bạn Tổ 1.

Thực hành 1

Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm. Bước 2: Tìm cỡ mẫu n. + Nếu \(n = 2k - 1\) thì trung vị là số liệu thứ k + Nếu \(n = 2k\) thì trung vị \( = \frac{1}{2}(\)số liệu thứ k + số liệu thứ (k+1))

Lời giải chi tiết:

Vận dụng 1:

Nhóm A	12,2	13,5	12,7	13,1	12,5	12,9	13,2	12,8
Nhóm B	12,1	13,4	13,2	12,9	13,7

Sắp xếp thời gian chạy của nhóm A theo thứ tự không giảm ta được dãy: \(12,2;\;\,12,5;\;\,12,7;\;\,12,8;\;\,12,9;\;\,13,1;\;\,13,2;\;\,13,5\) Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là \({M_e} = \frac{1}{2}(12,8 + 12,9) = 12,85.\) Sắp xếp thời gian chạy của nhóm B theo thứ tự không giảm ta được dãy: \(12,1;\;\,\,12,9;\;\,13,2;\;\,13,4;\;\,13,7\) Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên, tức là \({M_e} = 13,2.\) Vận dụng 2:

Số bàn thắng	0	1	2	3	4	6
Số trận	5	10	5	3	2	1

Sắp xếp số bàn thắng của đội theo thứ tự không giảm ta được dãy: \(0;\;\,0;\;\,0;\;\,0;\;\,0;\;\underbrace {\,1;\;...;\;\,1}_{10\;so\;1};\;\,2;\,\;2;\,\;2;\,\;2;\,\;2;\,\;3;\;3;\;3;\;4;\;4;\;6.\) Vì cỡ mẫu bằng \(5 + 10 + 5 + 3 + 2 + 1 = 26\) nên trung vị của đội là trung bình cộng của số liệu thứ 13 và thứ 14 của dãy trên, tức là \({M_e} = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1.\)

HĐ Khám phá 3

Cân nặng của 20 vận động viên môn vật của một câu lạc bộ được ghi lại ở bảng sau:

50	56	57	62	58	52	66	61	54	61
64	69	52	65	58	68	67	56	59	54

Để thuận tiện cho việc luyện tập, ban huấn luyện muốn xếp 20 vận động viên trên thành 4 nhóm, mỗi nhóm gồm 25% số vận động viên có cân nặng gần nhau. Bạn hãy giúp ban huấn luyện xác định các ngưỡng cân nặng để phân nhóm mỗi vận động viên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm. Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\)(chính là trung vị của mẫu). Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ) Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ)

Lời giải chi tiết:

Sắp xếp các cân nặng theo thứ tự không giảm, ta được dãy: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58; 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69. +) Vì cỡ mẫu \(n = 20\), là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {58 + 59} \right) = 58,5\) +) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 50; 52; 52; 54; 54; 56; 56; 57; 58; 58. Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}(54 + 56) = 55\) +) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 59; 61; 61; 62; 64; 65; 66; 67; 68; 69. Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}(64 + 65) = 64,5\) Vậy 3 ngưỡng cân nặng để phân nhóm là: 55kg; 58,5 kg; 64,5 kg.

Thực hành 2

Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau: a) 10; 13; 15; 2; 10; 19; 2; 5; 7 b) 15; 19; 10; 5; 9; 10; 1; 2; 5; 15

Phương pháp giải:

Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm. Bước 2: Tính cỡ mẫu n, tìm tứ phân vị thứ hai \({Q_2}\)(chính là trung vị của mẫu). Bước 3: Tìm tứ phân vị thứ nhất: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ) Bước 4: Tìm tứ phân vị thứ ba: là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải \({Q_2}\) (không bao gồm \({Q_2}\) nếu n lẻ)

Lời giải chi tiết:

a) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 2; 5; 7; 10; 10; 13; 15; 19 +) Vì cỡ mẫu là \(n = 9\), là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = 10\) +) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 2; 5; 7. Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}(2 + 5) = 3,5\) +) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 13; 15; 19. Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}(13 + 15) = 14\) b) Sắp xếp lại mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 2; 5; 5; 9; 10; 10; 15; 15; 19 +) Vì cỡ mẫu là \(n = 10\), là số chẵn, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}(9 + 10) = 9,5\) +) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 5; 5; 9. Do đó \({Q_1} = 5\) +) Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 10; 15; 15; 19. Do đó \({Q_3} = 15\)