Đề bài

Một loại xét nghiệm nhanh SARS–CoV–2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS–CoV–2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?

Lời giải chi tiết

Gọi A là biến cố “Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính” và B là biến cố “Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus”. Do xét nghiệm cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên P(A|B) = 0,762. Do xét nghiệm cho kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên \(P(\overline A |\overline B ) = 0,991\). Suy ra \(P(A|\overline B ) = 1 - P(\overline A |\overline B ) = 1 - 0,991 = 0,009\). Do tỉ lệ người nhiễm virus trong một cộng đồng là 1% nên P(B) = 0,01 và \(P(\overline B ) = 0,99\). Áp dụng công thức xác suất toàn phân, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là: \(P(A) = P(B).P(A|B) + P(\overline B ).P(A|\overline B ) = 0,01.0,762 + 0,99.0,009 = 0,01653\). Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi có kết quả dương tính là P(B|A). Ta có: \(P(B|A) = \frac{{P(B).P(A|B)}}{{P(A)}} = \frac{{0,01.0,762}}{{0,01653}} \approx 0,461 = 46,1\% \).