Đề bài

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 3cm. Tính diện tích tam giác ABC.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của AO và BC nên AH là trung trực đồng thời là đường cao, đường trung tuyến trong tam giác đều ABC. Do đó: \(OA = \frac{{BC\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow BC = \sqrt 3 OA = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\) Vì O là trọng tâm của tam giác ABC, AH là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(AH = \frac{3}{2}OA = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}\left( {cm} \right)\) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.\frac{9}{2}.3\sqrt 3  = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\left( {c{m^2}} \right)\)