Đề bài

  Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, giao điểm hai đường chéo AC và BD trùng với gốc O. Các vectơ \(\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OS} \)­ lần lượt cùng hướng với \(\overrightarrow i \), \(\overrightarrow j \), \(\overrightarrow k \) và OA = OS = 4 (Hình 15). Tìm toạ độ các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} \) và \(\overrightarrow {AM} \)­ ­với M là trung điểm của cạnh SC.

Lời giải chi tiết

Xét tam giác OAB vuông tại O: \(OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - 4\overrightarrow j  =  > A(0; - 4;0)\) \(\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow i  =  > B(3;0;0)\) => \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  = (3; - 4;0)\) \(\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow j  =  > C(0;4;0)\) => \(\overrightarrow {AC}  = 8\overrightarrow j  = (0;8;0)\) \(\overrightarrow {OS}  = 4\overrightarrow k  =  > S(0;0;4)\) => \(\overrightarrow {AS}  = 4\overrightarrow j  + 4\overrightarrow k  = (0;4;4)\) \(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OS}  + \overrightarrow {OC} ) = \frac{1}{2}(4\overrightarrow k  + 4\overrightarrow j ) = 2\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  =  > \overrightarrow {OM}  = (0;2;2) \Rightarrow M(0;2;2)\) => \(\overrightarrow {AM}  = 6\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  = (0;6;2)\)