Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):2x - y + z - 7 = 0\).

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua \(A\left( {1;0;1} \right)\), \(B\left( {5;2;3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), nên vectơ pháp tuyến \(\vec n\left( {2; - 1;1} \right)\) của mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Như vậy \(\left( \alpha  \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {4;2;2} \right)\) và \(\vec n\left( {2; - 1;1} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec n} \right] = \left( {2.1 - 2.\left( { - 1} \right);2.2 - 4.1;4.\left( { - 1} \right) - 2.2} \right) = \left( {4;0; - 8} \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là \(4\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) - 8\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 8z + 4 = 0 \Leftrightarrow x - 2z + 1 = 0\).