Đề bài

Cho căn thức \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4} .\) a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x. b) Rút gọn căn thức đã cho với \(x \ge 2.\) c) Chứng tỏ rằng với mọi \(x \ge 2,\) biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \) có giá trị không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4}  = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \). Do \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên căn thức đã cho xác định với mọi giá trị của x. b) Với \(x \ge 2\) ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4x + 4}  = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}  = \left| {x - 2} \right| = x - 2\) c) Ta có: \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} }  = \sqrt {x - \left| {x - 2} \right|}  = \sqrt {x - \left( {x - 2} \right)}  = \sqrt 2 \) là hằng số Do đó với mọi \(x \ge 2,\) biểu thức \(\sqrt {x - \sqrt {{x^2} - 4x + 4} } \)có giá trị không đổi.