Đề bài

  Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \)

• Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D\)nên hàm số nghịch biến trên D

• Tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 21;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 2\) nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} =  - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{2}\) Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\( - \frac{1}{2}\); 0)

b) Ta có A(0; -1) và I(1; 2) B là điểm đối xứng với A qua I nên I là trung điểm AB => B(2;5) Lại có: \(y(2) = \frac{{2.2 + 1}}{{2 - 1}} = 5\) nên B(2;5) cũng thuộc đồ thị hàm số