Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH=12cm, CH=9cm, BH=16cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN c) Tính diện tích tam giác AMN 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AHB vuông tại H, có: \(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\) (định lý Pythagore) => \(A{B^2} = {12^2} + {16^2}\) => AB=20cm Tương tự, có: \(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\) (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC) => \(A{C^2} = {12^2} + {9^2}\) => AC=15cm Có BC=9+16=25 Trong tam giác ABC, nhận thấy \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) => Tam giác ABC vuông tại A b) Xét tam giác AHB có:  M là trung điểm của AH B là trung điểm của BH => MN là đường trung bình của tam giác AHB => MN // AB mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A) => MN ⊥ AC Xét \(\Delta ACN\) có \(AH \bot CN\) (gt), \(MN \bot AC\) (cmt), \(AH \cap MN = M\). Vậy M là trực tâm của \(\Delta ACN\), do đó \(CM \bot AN\). c) Ta có: \({S_{\Delta AMN}} = \frac{{AM.HN}}{2} = \frac{{\frac{{AH}}{2}.\frac{{BH}}{2}}}{2} = \frac{{AH.BH}}{8} = \frac{{12.16}}{8} = 24(c{m^2})\)