Đề bài

Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=8cm, BC=10cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM=4cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB.

a) Chứng minh ΔBMP ∽ ΔMCN 

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM

Lời giải chi tiết

a) Ta thấy \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \((6^2 + 8^2 = 10^2\) nên tam giác ABC vuông tại A Do đó AC ⊥ AB Mà MP ⊥ AB suy ra MP // AC nên \(\widehat {BMP} = \widehat {MCN}\) (2 góc đồng vị) Xét tam giác vuông BMP (vuông tại P) và tam giác MCN (vuông tại N) có \(\widehat {BMP} = \widehat {MCN}\)

suy ra ΔBMP ∽ ΔMCN  (g.g)

b) Xét tam giác BMP và tam giác BAC có MP // AC nên \(\frac{BM}{{BC}} = \frac{{PM}}{AC}\) Suy ra \(\frac{4}{{10}} = \frac{{PM}}{8}\) \(PM = 8.\frac{4}{{10}} = 3,2(cm)\) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BMP, ta có: \(BP^2 = BM^2 - PM^2 = 4^2 - 3,2^2 = 5,76\) suy ra \(BP = \sqrt{5,76} = 2,4 (cm)\) Do đó \(AP = AB - BP = 6 - 2,4 = 3,6 (cm)\) Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AMP, ta có: \(AM = \sqrt{AP^2 + PM^2} = \sqrt{3,6^2 + 3,2^2} \approx 4,82 (cm)\)