Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất của mỗi biểu thức sau: a) \(C =  - \left| x \right| - {x^2} + 23\); b) \(D =  - \sqrt {{x^2} + 25}  + 1{\rm{ 225}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(C =  - \left| x \right| - {x^2} + 23\);Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| \ge 0\\{x^2} \ge 0\end{array} \right.{\rm{  }}\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right) \to \left| x \right| + {x^2} \ge 0 \to  - \left( {\left| x \right| + {x^2}} \right) \le 0\\ \Rightarrow  - \left| x \right| - {x^2} \le 0\end{array}\)Suy ra: \(\begin{array}{l} - \left| x \right| - {x^2} + 23 \le 0 + 23\\ \Rightarrow  - \left| x \right| - {x^2} + 23 \le 23\end{array}\).

Vậy giá trị lớn nhất của C là 23.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\left| x \right| = 0\\{x^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\).b) \(D =  - \sqrt {{x^2} + 25}  + 1{\rm{ 225}}\).Ta có: \(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 25}  \ge \sqrt {0 + 25} {\rm{  =  }}\sqrt {25} {\rm{  =  5   }}\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\\ \to  - \sqrt {{x^2} + 25}  \le  - 5{\rm{ }}\\ \Rightarrow  - \sqrt {{x^2} + 25}  + 1{\rm{ 225}} \le  - 5 + 1{\rm{ 225 }}\\ \Rightarrow  - \sqrt {{x^2} + 25}  + 1{\rm{ 225}} \le 1{\rm{ }}220\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của D là 1 220.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).