Đề bài

Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

 

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.Do M ∈ d nên MA = MB hay tam giác MAB cân tại M.Suy ra \(\widehat {MBA} = \widehat {MAB}\) (1)Trong tam giác vuông ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)Nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ  - \widehat {ABC}\) (2)Ta có \(\widehat {BAM} + \widehat {MAC} = \widehat {BAC} = 90^\circ \)Nên \(\widehat {MAC} = 90^\circ  - \widehat {MBA}\) (3)Từ (1),(2) và (3) suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {MCA}\)Do đó tam giác MAC cân tại M nên MA = MC.Như vậy, MB = MC (= MA) nên M là trung điểm của BC.Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.