Đề bài

Biểu diễn \({(3 + \sqrt 2 )^5} - {(3 - \sqrt 2 )^5}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với a, b là các số nguyên.

Lời giải chi tiết

\({(3 + \sqrt 2 )^5} - {(3 - \sqrt 2 )^5}\) \( = {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {10.3^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5.3{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\) \( - \left[ {{3^5} - {{5.3}^4}.\sqrt 2  + {{10.3}^3}{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{10.3}^2}{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + 5.3{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^5}} \right]\) \( = 2\left[ {{{5.3}^4}.\sqrt 2+ {{10.3}^2}{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^5}} \right]\) \( = 810\sqrt 2  + 360\sqrt 2  + 8\sqrt 2 \) \( = 1178\sqrt 2 \).