Đề bài

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC có diện tích bằng nhau

Lời giải chi tiết

Gọi AH, BK, CI là đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A, B, C

GH’, GK’, GI’ là đường cao của tam giác GBC, GAC, GAB kẻ từ G xuống BC, AC, AB

 

Ta có:\({S_{GBC}} = \frac{1}{2}BC.GH';{S_{GAC}} = \frac{1}{2}AC.GK';{S_{GBA}} = \frac{1}{2}BA.GI'\)

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC ൩nên \(GH' = \frac{1}{3}AH;GK' = \frac{1}{3}BK;GI' = \frac{1}{3}CI\)

Suy ra \({S_{GBC}} = \frac{1}{6}BC.AH;{S_{GAC}} = \frac{1}{6}AC.BK;{S_{GBA}} = \frac{1}{6}BA.CI\) (1)Mặt khác ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}AB.CI = \frac{1}{2}AC.BK\) (2)Từ (1) và (2) ta có \({S_{GBC}} = {S_{GAB}} = {S_{GAC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\) (đpcm)