Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(x,y,z\) theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) với các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} \). Chứng minh \({\cos ^2}x + {\cos ^2}y + {\cos ^2}z = 1\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(a,b,c,d\) lần lượt là độ dài của \(AB,A{\rm{D}},AA',AC'\). Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B \Rightarrow A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\). Tam giác \(ACC'\) vuông tại \(C\) \( \Rightarrow AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = A{B^2} + B{C^2} + AA{'^2}\) Do đó \({d^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\). Ta có: \(\cos x = \frac{{AB}}{{AC'}} = \frac{a}{d},\cos y = \frac{{AD}}{{AC'}} = \frac{b}{d},\cos z = \frac{{AA'}}{{AC'}} = \frac{c}{d}\) \({\cos ^2}x + {\cos ^2}y + {\cos ^2}z = {\left( {\frac{a}{d}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{d}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{d}} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{d^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{d^2}}} + \frac{{{c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{d^2}}} = \frac{{{d^2}}}{{{d^2}}} = 1\).