Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\left( {AB//CD} \right)\). Đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD, BD, AC\) và \(BC\) theo thứ tự tại các điểm \(M, N, P, Q\). Chứng minh rằng \(MN = PQ\).

Lời giải chi tiết

Đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AD, BD, AC\) và \(BC\) theo thứ tự tại các điểm \(M,N,P,Q\) nên \(PM//AB//CD;MN//AB//CD;NQ//AB//CD\). - Xét tam giác \(BCD\) có \(QN//CD\) và \(QN\) cắt \(BD;BC\) lần lượt tại \(N;Q\). Theo hệ quả của định lí Thales ta có: \(\frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{NB}}{{BD}} = \frac{{BQ}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{NB}}{{BD}}\)  (1) - Xét tam giác \(ACD\) có \(PM//CD\) và \(PM\) cắt \(AD;AC\) lần lượt tại \(M;P\). Theo hệ quả của định lí Thales ta có: \(\frac{{PM}}{{DC}} = \frac{{PA}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{PM}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}}\)  (2) - Xét tam giác \(DMN\) có \(AB//MN\). Theo định lí Thales ta có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{BD}}\)  (3) Từ (1), (2), (3) ta có: \(\frac{{AM}}{{AD}} = \frac{{NB}}{{BD}} = \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{PM}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{QN}}{{DC}} = \frac{{PM}}{{DC}} \Rightarrow QN = PM\) Ta có: \(QN + MQ = PM + MQ \Rightarrow MN = PQ\) (điều phải chứng minh).